Matrizenrechnung Grundlagen

Mathe für Dummies

Die Matrizenrechnung ist ein Teilgebiet der Linearen Algebra und somit auch Bestandteil des Kurses 40600 “ Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra“. Dieser Artikel soll eine kleine Einführung in das Thema Matrizenrechnung liefern, sowie die Grundlagen und Rechenregeln für Matrizen erklären.

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix (Plural: Matrizen) ist eine rechteckige (tabellarische) Anordnung von Zahlen. Sie enthält waagerecht verlaufende Zeilen und senkrecht verlaufende Spalten.

Matrizen eignen sich gut zum Vergleich oder zur Berechnung von Zusammenhängen. Zwar könnte man diese auch in einer ganz normalen Tabelle darstellen, in der Zeilen und Spalten beschriftet sind, jedoch ist die Darstellung in Form einer Matrix weitaus übersichtlicher und einfacher zu erstellen.

Gerade in der Wirtschaft sind viele Zusammenhänge proportional zueinander. Man spricht hierbei von Linearer Abhängigkeit. Das Rechnen mit Matrizen erleichtert die Darstellung und Berechnung solcher Linearer Zusammenhänge.

Eine Matrix besteht dabei aus m Zeilen und n Spalten. Die Anzahl der Elemente errechnet sich dann durch Multiplikation der Zeilen- und Spaltenzahl. Man nennt eine Matrix daher auch m x n-Matrix. Bei den Elementen handelt es sich um reelle Zahlen (also sowohl positive Zahlen, als auch negative Zahlen und Brüche).

Die Darstellung einer Matrix ergibt in runden Klammern und sieht wie folgt aus:

m x n-Matrix

Der große Buchstabe „A“ ist der Name, bzw. die Bezeichnung der Matrix. Eine Matrix wird immer mit Großbuchstaben bezeichnet (A, B, C, D, E …). Durch Angabe der Zeilen- und Spaltenzahl erhält man die Info zur Größe der Matrix. So nennt man eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten eine3×4-Matrix (A3,4). Eine Matrix mit 9 Zeilen und 2 Spalten 9×2 Matrix und eine Matrix mit nur einem Wert (und damit einer Spalte und Zeile) heißt 1×1-Matrix.

Die einzelnen Elemente  a11, a12, a1n werden immer mit kleinen Buchstaben bezeichnet (a, b, c, d, e …) und ergeben sich aus der Zeilen- und Spaltennummer. Zuerst wird immer die Zeilennummer genannt, als zweites dann die Spaltennummer.  Die Nummer einer Zeile nennt man Zeilenindex, die Nummer einer Spalte heißt Spaltenindex. Ein Element hat immer einen Zeilen- und Spaltenindex. Beispiel: Das Element aus der 5. Spalte und 7. Zeile wäre a75  (Zeilenindex 7, Spaltenindex: 5).

Komplette Zeilen nennt man auch Zeilenvektoren, ganze Spalten heißen Spaltenvektoren. 

Transponierte Matrix

Eine Matrix (Am,n), bei der man Zeilen- und Spaltenwerte vertauscht, heißt transponierte Matrix (ATm,n). Dabei wird sowohl die Zeilenanzahl, als auch die Spaltenanzahl vertauscht. Die transponierte Matrix wird durch ein hochgestelltes „T“ verdeutlicht.

Beispiel:

Transponierte MatrixAus einer 4×3-Matrix wird durch Transpirieren eine 3×4-Matrix. Man nennt eine transponierte Matrix gelegentlich auch „gestürzte Matrix“, da sie durch das Transponieren auch ihre Form verändert. In unserem Beispiel wandelt sich die Form von einem höheren, schmalen Rechteck in ein flacheres, breiteres Rechteck. Handelt es sich bei der Matrix um eine Quadratische Matrix (siehe nächsten Abschnitt), wird diese beim Transponieren einfach in der Diagonalen (a11, a22 usw.) gespiegelt.

Für das Rechnen mit transponierten Matrizen gelten folgende Rechenregeln:

Transponierte Matrix Rechenregeln

Arten von Matrizen

Es gibt unterschiedliche Arten von Matrizen. Hier seien einige bekannte ausgezählt.

Quadratische Matrix

Bei einer quadratischen Matrix ist die Zeilenanzahl gleich der Spaltenanzahl. Die Spaltenzahl n heißt dann auch Ordnung der Matrix. Eine Diagoale verbindet die Elemente a1,1 und am,n miteinander. Eine quadratische Matrix wird beim Transponieren in der Diagonale (von a11 bis amn) gespiegelt.

Quadratische Matrix

Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist ebenfalls eine quadratische Matrix, mit der Besonderheit, dass man sie in der Diagonale spiegeln kann:

Symmetrische Matrix

Obere/Untere Dreiecksmatrix

Eine quadratische Matrix, die oberhalb oder unterhalb der Diagnole nur Nullen enthält, nennt man Obere (Untere) Dreiecksmatrix (weil die Nullen ein Dreieck bilden):

Untere DreiecksmatrixOb sich auf der Diagonale selbst Nullen befinden, spielt keine Rolle. In unserem Beispiel ist auf der Diagonale auch eine Null, was jedoch egal ist. Wichtig ist nur, dass sich unterhalb/überhalb der Diagonale ausschließlich Nullen befinden. Dann handelt es sich um eine obere/untere Dreiecksmatrix.

Diagonalmatrix

Ist eine Matrix quadratisch und gleichzeitig auch obere und untere Dreiecksmatrix, nennt man sie Diagonalmatrix. Dabei befinden sich außerhalb der Diagonalen ausschließlich Nullen.

DiagonalmatrixEinheitsmatrix

Eine Einheitmatrix ist praktisch eine Diagonalmatrix, nur dass alle Elemente auf der Diagonale Eins sind.

Einheitsmatrix

Steht anstelle einer Eins, überall eine andere reelle Zahl (z.B. 2 oder 15), ist es keine Einheitsmatrix, sondern eine sog. Skalarmatrix.

Nullmatrix

Eine Matrix, bei der alle Elemente Nullen sind, nennt man Nullmatrix:

Nullmatrix

Blockmatrix

Eine Blockmatrix ist eine Matrix, deren Elemente selbst alle Matrizen sind. Es ist sozusagen eine Matrix aus Matrizen. Hört sich kompliziert an, ist es beim Rechnen auch. Man kürzt die einzelnen Teilmatrizen mit ihrem (Groß)Buchstaben ab, sodass die Blockmatrix dann auch übersichtlich aussieht.

Man kann mit Blockmatrizen die selben Rechenoperationen machen, wie mit „normalen“ Matrizen. Aber jetzt erstmal ein kleines Beispiel, bevor es dann an die verschiedenen Rechenregeln für Matrizen geht.

Matrizenrechnung: Praktische Anwendung

Wie bereits erwähnt, nutzt man Matrizen, um lineare Zusammenhänge einfacher und schneller miteinander zu vergleichen oder mit diesen zu rechnen. Bevor wir zu den einzelnen Rechenregeln für Matrizen kommen, betrachten wir am besten mal ein kleines Beispiel, welches Sinn und Zweck der Matrizenrechnung verdeutlichen soll.

Beispiel:

Zwei Studentinnen, Cindy und Jaqueline, verbrauchen wöchentlich unterschiedlich viele Beauty-Produkte. Der wöchentliche Verbrauch der beiden sieht wie folgt aus (Angabe in Mengeneinheiten; ME):

Woche 1:

Cindy:  4 ME Lipgloss, 8 ME Nagellack, 12 ME Haarspray
Jaqueline: 3 ME Lipgloss, 6 ME Nagellack, 8 ME Haarspray

Woche 2:

Cindy:  2 ME Lipgloss, 10 ME Nagellack, 7 ME Haarspray
Jaqueline: 5 ME Lipgloss, 8 ME Nagellack, 3 ME Haarspray

Woche 3:

Cindy:  6 ME Lipgloss, 7 ME Nagellack, 9 ME Haarspray
Jaqueline: 4 ME Lipgloss, 3 ME Nagellack, 12 ME Haarspray

Woche 4:

Cindy:  1 ME Lipgloss, 6 ME Nagellack, 5 ME Haarspray
Jaqueline: 5 ME Lipgloss, 4 ME Nagellack, 6 ME Haarspray

Den wöchentlichen Verbrauch der beiden Studentinnen könnte man auch etwas übersichtlicher, nämlich in Form von Tabellen darstellen:

Verbauch von Cindy in Tabellenform:

Verbrauch von Cindy in Tabellenform

Verbauch von Jaqueline in Tabellenform:

Verbrauch von Jaqueline in Tabellenform

Das sieht zwar schon etwas übersichtlicher aus, jedoch geht die Darstellung der Werte noch schneller und einfacher von der Hand, wenn man die Matrizenschreibweise verwendet. Dabei stellen die Wochen die Zeilen (m) und die Beauty-Produkte die Spalten (n) dar.

Sowohl für Cindy, als auch für Jaqueline ergibt sich eine 4×3-Matrix, da wir 4 Zeilen und 3 Spalten haben. Die Werte/Elemente aus der Tabelle werden einfach direkt in die Matrix übernommen:

Verbrauch von Cindy in Matrizenform

Verbrauch von Jaqueline in MatrizenformDie Verbrauchsmatrix für Cindy benennen wir hier mit dem Großbuchstaben „C“, die für Jaqueline mit „J“. Durch die Schreibweise in Matrizenform lassen sich die einzelnen Werte nun viel besser miteinander vergleichen. Doch die Matrizenrechnung ist nicht nur da, damit Zahlen übersichtlicher dargestellt werden. Der wahre Nutzen dieser Schreibweise wird es deutlich, wenn man mit den Werten rechnen muss, indem man sie z.B. addiert, substrahiert,sowie miteinander oder mit einem anderen Wert multipliziert.

Doch hierfür bedarf es bestimmter Rechenoperationen für Matrizen.

Rechenregeln für Matrizen

Kommen wir nun zu den einzelnen Rechenregeln für Matrizen. Hierzu zählen die Addition und Subtraktion von Matrizen, die Multiplikation zweier Matrizen miteinander, sowie die Skalarmultiplikation.

Addition von Matrizen:

Um zwei Matrizen miteinander addieren zu können, müssen diese gleich groß sein, also über die selbe Anzahl an Zeilen und Spalten verfügen. Ansonsten ist eine Addition unmöglich. Man addiert zwei Matrizen miteinander, indem man die Elemente mit gleichem Zeilen-/Spaltenindex zusammenzählt.

Um z.B. herauszufinden, wie viele Beauty-Produkte Cindy und Jaqueline zusammen in der ersten Woche (= 1. Zeile) verbrauchen, addiert man die einzelnen Spaltenwerte (der 1. Zeile) miteinander.

Für den gemeinsamen Verbrauch von Lipgloss rechnet man: 4 + 3 = 7, bei Nagellack 8 + 6 = 14 und bei Haarspray rechnen wir in der 1. Zeile und 3. Spalte:12 + 8 = 20.

Noch übersichtlicher und einfacher zum Rechnen wird es, wenn man die beiden Matrizen nebeneinander aufstellt und die addierten Werte in einer Ergebnismatrix festhält. So kann man schnell alle addierten Werte der vier Wochen festhalten:

Addition von Matrizen

Im Prinzip ist das Addieren von Matrizen so simpel, wie da 1×1, man muss nur wissen, welchen Wert man mit welchem addiert, dann läuft das alles schon.

Subtraktion von Matrizen:

Das Subtrahieren von Matrizen läuft praktisch genauso, wie das Addieren. Wieder ist die Voraussetzung, dass beide Matrizen dieselben Zeilen- und Spaltenanzahl haben, also gleich groß sind.  Um den Unterschied zwischen Cindys und Jaquelines Verbrauch an Beauty-Produkten zu berechnen, zieht man die Werte (mit dem selben Zeilen- und Spaltenindex) der einen Matrix von den Werten der zweiten ab:

Subtraktion von MatrizenSo, was bedeuten nun die Werte in der Lösungsmatrix? Die Differenzen zwischen Cindys (1. Matrix) und Jaquelines (2.Matrix) Verbrauch, na klar. Aber man kann daran auch sehen, dass Jaqueline und Cindy in keiner Woche denselben Verbrauch an einem Beauty-Produkt hatten. Ansonsten würde in der Lösungsmatrix eine Null stehen. Statt dessen haben wir dort jetzt sowohl positive, als auch negative Zahlen.

Die positiven Zahlen in der Ergebnismatrix bedeuten, dass Cindys Verbrauch um diese Mengeneinheit höher lag, als Jaquelines Verbrauch. Die negativen Werte hingegen zeigen an, wie viele ME eines Produkts Cindy weniger verbraucht hat (als Jaqueline), bzw. dass Jaqueline einen höheren Verbrauch hatte.

Skalarmultiplikation:

Nehmen wir jetzt an, Cindy möchte den Verbrauch an Beauty-Produkten für sich und fünf Schwestern ausrechnen. Dabei unterstellen wir, dass ihre Schwestern einen genauso hohen Verschleiß an Lipgloss, Nagellack und Haarspray haben, wie Cindy selbst. In dem Fall multipliziert man Cindys Verbauchsmatrix mit dem Faktor 5 (auch „Skalar“ genannt). Skalar ist auch in dem Fall eine reelle Zahl.

Es ergibt sich folgende Ergebnismatrix:

SkalarmultiplikationDie Multiplikation mit einem Skalar ist immer dann sinnvoll, wenn man eine Matrix hochrechnen möchte. In unserem Fall z.B., indem man die selbe Matrix für alle Schwestern unterstellt und den Gesamtverbrauch an Produkten berechnen möchte. Aber man kann die Skalarmultiplikation z.B. auch anwenden, wenn man den Jahresverbauch an Beauty-Produkten berechnen möchte (Skalar = 12). Dabei würde man allerdings unterstellen, dass jeder Monat 4 Wochen hat und man in jedem Monat gleich viel verbraucht.

Die Skalarmultiplikation ist zwar eine sehr einfache und daher sehr beliebte Rechenoperation, allerdings wird dabei immer unterstellt, dass die Proportionen gleich bleiben und die Entwicklung durch die Vervielfachung ganz linear verläuft.

Multiplikation von Matrizen

Bei der Multiplikation von zwei Matrizen muss man immer zuerst überprüfen, ob die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix ist. Das ist die Grundvoraussetzung, um überhaupt mit dem Rechnen beginnen zu können.

Gemäß der Regel können wir unsere beiden Matrizen (beides 4 x 3 -Matrizen) gar nicht miteinander multiplizieren, denn die erste Matrix hat 4 Zeilen, die zweite Matrix aber nur 3 Spalten. Daher bauen wir uns zur Veranschaulichung einer Matrizen-Multiplikation ein Beispiel zurecht.

Nehmen wir an, Jaqueline hat die Wahl zwischen zwei Drogerien („Susi Schönheits-Shop“ und „Bibi´s Beauty-Bude“). Nun möchte sie herausfinden, wo sie ihre Beauty-Produkte günstiger kaufen kann. Hier unterstellen wir mal, dass Jaqueline ihren Bedarf an Beauty-Produkten einmal wöchentlich deckt und sich für einen Laden entscheiden muss.

Die Produktpreise der beiden Drogerien sehen – abgetragen in einer Tabelle – wie folgt aus:

Preistabelle

Auf den ersten Blick kann man nicht erkennen, bei welcher Drogerie man unterm Strich günstiger einkaufen kann. Susi´s Drogerie ist zwar bei zwei Produkten günstiger, als Bibi´s Laden, jedoch muss man neben dem Preis auch die Anzahl der Beauty-Produkte berücksichtigen, die Jaqueline benötigt.

Die Gewissheit, welche Drogerie günstiger ist, bekommt man nur durch Ausrechnen. Doch hierfür müssen wir aus der Preistabelle erst eine Preismatrix machen:

PreismatrixJetzt können wir Jaquelines Verbauchsmatrix (J4,3) mit der Preismatrix (P3,2) multiplizieren. Denn die Spaltenzahl der ersten Matrix (=3) entspricht der Zeilenzahl der zweiten Matrix (=3). Umgekehrt geht es jedoch nicht. Denn die Preismatrix hat 2 Spalten, Jaquelines Verbrauchsmatrix allerdings 4 Zeilen.

Die Multiplikation von zwei Matrizen ist die komplizierteste von den hier betrachteten Rechenoperationen. Man geht dabei am besten Zeilen- und Spaltenweise vor. D.h. man nimm sich zuerst die Zeile 1 der ersten Matrix und die Spalte 1 der zweiten Matrix vor. Jetzt multipliziert man den ersten Zeilenwert (von links nach rechts) mit dem ersten Spaltenwert (von oben nach unten), dann den zweiten Zeilenwert mit dem zweiten Spaltenwert usw. Anschließend addiert man die Werte miteinander.

Am deutlichsten wird die Vorgehensweise bei der Multiplikation, indem man die beiden Matrizen in Tabellenform bringt und dann dort die einzelnen Rechenschritte vornimmt:

Multiplikation von Matrizen Rechenweg

 

Diese Rechenart nennt man übrigens „Falksches Schema“.

Nun kann man die Gesamtkosten für die Beauty-Produkte je Drogerie und Woche in einer Kostentabelle übersichtlich abtragen:

Kostentabelle

 

In Form einer Matrix dargestellt nennt sich das Ganze dann logischerweise „Kostenmatrix„. Diese hat vier Zeilen und zwei Spalten und ist daher eine 4 x 2-Matrix (K4,2). Diese Bezeichnung und damit auch die Form der Kostenmatrix ergibt sich immer aus der Zeilenzahl der ersten Matrix und der Spaltenzahl der zweiten Matrix.

Kostenmatrix

Was man beim bloßen Betrachten der Preistabelle nicht mit Gewissheit sagen konnte – nämlich in welcher Drogerie Jaqueline alle ihre Beauty-Produkte pro Woche günstiger einkauft – wird anhand der Kostenmatrix deutlicher. So erkennt man auf den ersten Blick, dass der zweite Spaltenvektor (Kosten für alle 3 Beauty-Produkte) in jeder Zeile (also in jeder Woche) höher (=teurer) ist, als im ersten Spaltenvektor. Mit anderen Worten: Bibi´s Beauty Bude ist für Jaquelines Verbrauch in jeder Woche teurer, als Susi´s Shop.

Jaqueline sollte ihren Einkauf daher in jeder Woche bei Susi´s Drogerie tätigen (solange Preise und Verbrauch gleich bleiben).

Fazit

Wenn man das Prinzip einmal verstanden hat, ist das Rechnen mit Matrizen recht simpel. Die Gefahr besteht höchstens in Flüchtigkeitsfehlern, die vor allem beim Multiplizieren oder Rechnen mit großen Matrizen schnell mal passieren können. Hier gilt: In der Ruhe liegt die Kraft. Dann kommt man auch nicht mit vermeidbaren Flüchtigkeitsfehlern in die Bredouille ;).

Über den Autor

Alicia
Hier schreibt Alicia (Google+), 32 aus dem schönen Hamburg. Im WS 2010/11 habe ich mein WiWi-Fernstudium an der Fernuni-Hagen begonnen - Und bereits nach 18 Monaten erfolgreich abgebrochen. Die Gründe: Eine voreilige Entscheidung, berufliche Veränderungen und die Einsicht, dass nicht jeder der geborene Fernstudent ist. In meinem Blog berichte ich über persönliche Erfahrungen, Eindrücke, Probleme und Fragen aus meiner Fernstudienzeit, sowie allgemeine Informationen und News rund um das Thema Fernstudium und wirtschaftswissenschaftliche Studiengänge. Mein Ziel ist es, Studieninteressierte bei ihrer Entscheidungsfindung zu unterstützen, damit das Projekt Fernstudium auch ein nachhaltiger Erfolg wird.

11 Kommentare zu "Matrizenrechnung Grundlagen"

  1. Hey danke für den Blog! Sehr spannend und toll erklärt!!!

    Ich beginn im SS12 mein Bachlor-Studium Wirtschaftsinformatik, wie bei Dir per Fernstudium.

    Liebe Grüße

    Franco

  2. Hey Franco!

    Vielen Dank für das Kompliment, das freut mich :)!

    Ich wünsche dir viel Erfolg für dein Fernstudium und natürlich auch viel Spaß beim Lernen!

    Liebe Grüße,

    Alicia

  3. Hey,
    danke für die TOP Erklärung, da ist Matritzenrechnung schon so einfach und doch muß ich immer wieder mal reinschauen.
    Mach derzeit meinen Betreibswirt (Marketing). Dir weiterhin viel Glück und Erfolg und muss sagen, dass ist ne TOP Idee von DIr.
    DANKE

  4. Hey Henning!

    Vielen Dank für deinen Kommentar! Freut mich, dass dir der Artikel etwas weitergeholfen hat.

    Ich wünsche dir weiterhin viel Erfolg bei deinem Betriebswirt!

    Viele Grüße,

    Alicia

  5. Hey,

    sehr schön erklärt. Jetzt wo ich das mal zusammen mit einem Beispiel lese verstehe ich auch endlich, wozu diese Matrizen überhaupt gut sind 🙂

    LG

  6. Hallo Alicia,

    sehr schön erklärt. Darf ich die Seite verwenden?

    LG

    Axel Kilian

  7. Hallo Axel,

    vielen Dank für das Kompliment zum Artikel! Du kannst ihn gerne verwenden.

    Liebe Grüße,

    Alicia

  8. die beste erklärung überhaupt, wieso machen es nicht alle so simpel? so lange habe ich im internet nach einer einfachen erklärung gesucht und bin hier endlich fündig geworden. danke dafür alicia!

  9. Hallo Sergio,

    vielen Dank für das Kompliment zum Artikel, freut mich, dass er dir geholfen hat. Das ist ein Ansporn, in Zukunft eventuell noch weitere Mathe-Artikel zu verfassen ;)!

    Liebe Grüße,

    Alicia

  10. Hey,
    vielen dank für die Bereitstellung deines Blogs, hat mir auf jeden Fall sehr geholfen… Gut das es noch Menschen gibt, die sich die Zeit nehmen und sowas machen.. Sehr gut und und verständlich erklärt.. Note 1+ 🙂

  11. Danke. Super Matrizen-Post 😉

Hinterlasse einen Kommentar

E-Mail Adresse wird nicht veröffentlicht.


*