Matrizenrechnung Aufgaben

Nach den Grundlagen der Matrizenrechnung folgen nun einige grundlegende Aufgaben zu den verschiedenen Rechenregeln. Darunter sind Aufgaben zum Transponieren einer Matrix, Multiplikation mit einer reellen Zahl, einem Vektor oder einer anderen Matrix, sowie zu einigen grundlegenden Matrixpotenzen.

Aufgabe 1: Transponieren von Matrizen

Man transponiert eine Matrix Am,n, indem man ihre Zeilen- und Spaltenwerte vertauscht. Die transponierte Matrix drückt man mit einem hochgestellten T aus: ATm,n. 

Beispiel 1:

3 x 3-Matrix  transponieren

Transponiert man eine 3×3-Matrix, so ist auch die transponierte Matrix weiterhin eine 3×3-Matrix. Zeilen- und Spaltenzahl bleiben ja gleich.

Beispiel 2: 

3 x 2-Matrix transponieren

Anders sieht es bei einer 3×2-Matrix aus. Aus 3 Zeilen und 2 Spalten wird eine transponierte Matrix mit 3 Spalten und 2 Zeilen.

Beispiel 3:

6x4-Matrix transponieren

Natürlich kann man das Ganze auch mit größeren Matrizen machen, die entweder Zahlen oder Buchstaben enthalten. Der Prozess des Transponierens ist recht simpel, die meisten Fehler enstehen aus Unachtsamkeit oder Flüchtigkeit.

Beispiel 4: 

3x5-Matrix transponierenDas Transponieren kann auch anders herum angewendet werden, indem eine transformierte Matrix nochmals transponiert wird. Dadurch ergibt sich wieder die Ursprungsmatrix, denn (AT)T = A.

5x3-Matrix (Ursprungsmatrix)Beispiel 5:

Vektor transponieren

Auch eine Zeilen- oder Spaltenvektor, praktisch eine Matrix mit nur einer Zeile, bzw. Spalte, kann transponiert werden. In diesem Beispiel geht es wieder darum, einen bereits transponierten Vektor nochmals zu transponieren. Es ergibt sich wieder der ursprüngliche Spaltenvektor.

Aufgabe 2: Multiplikation von Matrizen mit einer reellen Zahl

Die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl, einem sog. “Skalar” gehört auch zu den einfach Rechenregeln. Dabei wird jeder Wert des Vektors mit dem jeweiligen Skalar multipliziert:

Beispiel 1:

Skalarmultiplikation

Die Aufgabenstellung könnte jedoch auch anders lauten, indem bei einer Matrix ein reeller Faktor ausgeklammert wird:

Beispiel 2:

Matrizen Ausklammern einer reellen Zahl

Oftmals wird das Ausklammern eines reellen Faktor verwendet, um kompliziertere Werte einfacher darzustellen, wie das folgende Beispiel zeigt:

Beispiel 3:

Matrizen vereinfachen durch Ausklammern einer reellen Zahl

 

Multiplikation von Matrizen mit Vektoren

Um Matrizen mit einem Vektor (vergleichbar mit einer Matrix mit nur einer Zeile/Spalte) multiplizieren zu können, muss man die selbe Regel beachten, die auch bei der Matrizenmultiplikation gilt: Die Spaltenzahl der Matrix muss der Zeilenzahl des Vektors entsprechen.

 Beispiel 1:

2x2-Matrix mit Vektor multipliziert

Eine 2×2-Matrix (=2 Spalten) kann mit diesem Spaltenvektor (= 2 Zeilen) multipliziert werden. Man geht bei der Vektormultiplikation nach dem Falkschen Schema vor. Die Rechenschritte lauten 4*(-4) + (-3)*(3) = -25 und 6*(-4) + 2*(3) = -18. Aus einer 2×2-Matrix wird durch Multiplikation mit einem Spaltenvektor (2×1-Matrix) ebenfalls ein Spaltenvektor (2x2-Matrix * 2x1-Matrix = 2×1-Matrix).

 Beispiel 2:

2x4-Matrix mit Vektor multipliziertGenauso verhält es sich auch mit etwas größeren Matrizen. Hier haben wir eine 2×4-Matrix mit zwei Zeilen und vier Spalten. Um sie mit einem Vektor multiplizieren zu können, muss dieser vier Zeilen haben. Wir rechnen für die erste Zeile 2*1 + 8*(-2) + (-6)*0 + 0*4 = -14. Und für die zweiten Zeile des Ergebnisvektors: 0*1 + 3*(-2) + 7*0 + 1*4 = -2. Aus einer 2x4-Matrix multipliziert mit einem 4x1-Vektor entsteht ein 2×1-Vektor.

Beispiel 3:

5x2-Matrix mit Vektor multipliziertEine 5×2-Matrix (2 Spalten) kann nur mit einem zweizeiligen Vektor multipliziert werden. Der Lösungsvektor ist demnach ein 5×1-Vektor. Die Werte für die erste Zeile ergeben sich aus den Rechenschritten 2*2 + 3* (-1) = 1, für die zweite Zeile aus 7*2 + 1*(-1) = 13, aus 5*2 + (-1)*(-1) = 11 für die dritte Zeile, für die vierte Zeile aus 3*2 + 2*(-1) = 4 und zu guter Letzt aus 6*2 + (-9)*(-1) = 21 für die fünfte Zeile.

 Beispiel 4:

Einheitsmatrix multipliziert mit Vektor

Eine 3×3-Matrix kann mit einem dreizeiligen Vektor multipliziert werden und ergibt (3x3 * 3*1) einen 3×1-Vektor. Wird eine sog. Einheitsmatrix mit einem Vektor multipliziert, ergibt sie immer den Vektor selbst. Die Rechenschritte sind: 1*0 + 0*(-1) + 0*1 = 0, 0*0 + 1*(-1) + 0*1 = -1 und 0*0 + 0*(-1) + 1*1 = 1.

Matrizenmultiplikation

Die Multiplikation von Matrizen miteinander, funktioniert genauso, wie die Multiplikation mit einem Vektor. Nur hat man hier nicht nur einen Spaltenwert, mit dem man multipliziert, sondern – je nach Größe der Matrix – mehrere Spalten, die die Sache manchmal etwas kompliziert aussehen lassen können.

Daher hilft es immer, eine Tabelle anzulegen und die einzelnen Ergebnisse dort zusammenzutragen. Hier einige Beispiele zur Matrizenmultiplikation:

Beispiel 1:

Matrizenmultiplikation

 

Diese beiden Matrizen können miteinander multipliziert werden, da die Spaltenanzahl der ersten Matrix (=3 Spalten) der Zeilenanzahl der zweiten Matrix (=3 Zeilen) entspricht. Die Matrizen werden multipliziert, indem man bei der ersten Zeile der ersten Matrix beginnt und jeden Wert mit den Werten der ersten Spalte der zweiten Matrix multipliziert. Anschließend wird daraus die Summe gebildet. Hört sich kompliziert an, ist es aber nicht.

Die folgende Tabelle soll den Rechenvorgang verdeutlichen:

Matrizenmultiplikation Tabelle

Aus einer 5x3-Matrix multipliziert mit einer 3x4-Matrix ergibt sich eine 5×4-Matrix. Damit kann man die Größe der Matrix bereits jetzt bestimmten. Da die ganze Rechnerei in der Tabelle etwas zu unübersichtlich wäre, führe ich die Rechenschritte für die Lösungswerte (Buchstaben) hier separat auf.

Für die erste Zeile der Lösungsmatrix:

  • a = 2*5 + 4*7 + (-2)*0 = 10 + 28 + 0 = 38
  • b =2*3 + 4*2 + (-2)*1 = 6 + 8 + (-2) = 12
  • c =2*(-1) + 4*0 + (-2)*3 = (-2) + 0 + (-6) = -8
  • d =2*7 + 4*2 + (-2)*8 = 14 + 8 + (-16) = 6

Für die Werte der zweiten Zeile der Lösungsmatrix:

  • e = 3*5 + 1*7 + 0*0 = 15 + 7 + 0 = 22
  • f =3*3 + 1*2 + 0*1 = 9+ 2 + 0 = 11
  • g =3*(-1) + 1*0 + 0*3 = (-3) + 0 + 0 = -3
  • h =3*7 + 1*2 + 0*8 = 21 + 2 + 0 = 23

Für die dritte Zeile der Lösungsmatrix:

  • i = 6*5 + 1*7 + 8*0 = 30 + 7 + 0 = 37
  • j =6*3 + 1*2 + 8*1 = 18 + 2 + 8 = 28
  • k =6*(-1) + 1*0 + 8*3 = (-6) + 0 + 24 = 18
  • l =6*7 + 1*2 + 8*8 = 42 + 2 + 64 = 108

In der vierten Zeile rechnen wir:

  • m = (-4)*5 + 1*7 + 2*0 = (-20) + 7 + 0 = -13
  • n =(-4)*3 + 1*2 + 2*1 = (-12)  + 2 + 2 = -8
  • o =(-4)*(-1) + 1*0 + 2*3 = 4 + 0 + 6 = 10
  • p =(-4)*7 + 1*2 + 2*8 = (-28)  + 2 + 16 = -10

Und in der fünften und letzten Zeile lauten die Rechenschritte:

  • q = 8*5 + 5*7 + (-9)*0 = 40 + 35 + 0 = 75
  • r =8*3 + 5*2 +  (-9)*1 = 24  + 10 + (-9) = 25
  • s =8*(-1) + 5*0 +  (-9)*3 = (-8) + 0 + (-27) = -35
  • t =8*7 + 5*2 +  (-9)*8 = 56 + 10 + (-72) = -6

So, jetzt haben wir alle Werte der Lösungsmatrix ausgerechnet. Dieser sieht wie folgt aus:

Lösungsmatrix

 

 

Beispiel 2:

Beispiel 1 war bereits ein etwas ausführlicheres Beispiel, welches jedoch das Prinzip der Matrizenmultiplikation verdeutlichen sollte. Matrizen können auch miteinander multipliziert werden, wenn sie Zahlen und Buchstaben enthalten:
Matrizenmultiplikation aus Zahlen und Buchstaben
Auch hier kann man die einzelnen Rechenschritte in einer Tabelle festhalten:

Matrizenmultiplikation aus Zahlen und Buchstaben Tabelle

Aus der 3×3-Matrix mit Zahlen und der 3×2-Matrix aus Buchstaben ergibt sich eine 3*2- Lösungsmatrix aus Zahlen und Buchstaben:
Lösungsmatrix aus Zahlen und Buchstaben

Matrizenpotenzen

Als letztes Thema widmen wir uns dem Potenzieren von Matrizen. Doch auch das hört sich viel schlimmer an, als es letztendlich ist. Bei Matrizenpotenzen gilt die Formel:

Matrizen potenzieren FormelBeispiel 1:

Fangen wir mit dem quadrieren einer Matrix an. Dabei wird die Matrix einfach mit sich selbst Mal genommen.

Matrix quadrieren

Der Rechenweg ergibt sich gemäß dem Falkschen Schema wie folgt:

Matrix quadrieren Rechenweg

Beispiel 2:

Will man eine Matrix hoch 3 nehmen, kann man ausgehend von der quadrierten Matrix A² diese wieder  mit der Ursprungsmatrix A multiplizieren, denn A² * A = A³.

Matrizen potenzieren

Der Rechenweg bei der Multiplikation von A² mit A sieht dann wie folgt aus:

Matrizen multiplizieren Rechenweg

Beispiel 3:

Möchte man eine Matrix mit 4 potenzieren, so geht man mit denselben Schritten vor. Man sollte dabei immer das Potenzgesetz beachten:

Potenzgesetz

Wenn man jetzt Aausrechnen möchte, kann man entweder A³*A rechnen oder aber auch A²*A². Das beide Rechenwege zum selben Ergebnis führen, zeigen die folgenden Tabellen:

Matrixpotenzen Rechenweg 1

Dieselben Ergebnisse erhält man auch, wenn man A² mit A² multipliziert:

Matrixpotenzen Rechenweg 2

Als Lösung der einzelnen Potenzierungsstufen ergeben sich folgende Matrizen:

Matrixpotenzen Lösungen

So kann man theoretisch auch mit höheren Potenzen vorgehen, wobei der Vorgang natürlich immer komplizierter wird. Aber  Hauptsache, das Ergebnis stimmt ;).