Lineare Gleichungssysteme lösen

Mathe nimmt und nimmt kein Ende… Mittlerweile bin ich mit den Lecturio Vorlesungen zu „Grundlagen Analysis“ durch und befinde mich jetzt mitten in der Vorlesungsreihe zu „Lineare Algebra Grundlagen„. Ich muss schon sagen, dass das Rechnen im Rn nicht gerade zu meinen Lieblingsbeschäftigungen zählt. Zweidimensional geht es ja noch, aber sobald um 7 Uhr morgens mein räumliches Vorstellungsvermögen gefragt ist, bin ich eindeutig überfordert. Da ziehe ich doch einfache Matizenrechnungen oder das Lösen Linearer Gleichungssysteme vor ;).

Lineare Gleichungssysteme verfolgen mich irgendwie schon seit dem ersten Semester, besser gesagt, seitdem ich in den BWL-Studienheften mit dem Thema Simplexalgorithmus konfrontiert wurde . Das war ein Wurf ins kalte Wasser – nicht nur, dass das Thema vollkommenes Neuland für mich war, sondern auch, weil das Beispiel im Studienheft nicht zu Ende gerechnet wurde. Aber irgendwie habe ich es nach einigen schlaflosen Nächten doch noch geschafft, dass Beispiel zu lösen und mir mal eben so nebenbei das Simplexverfahren beizubringen.

Dabei hätte ich es viel einfacher haben können, wenn ich rechtzeitig mit Mathe angefangen und mir die Grundlagen zu Linearer Algebra und Analysis beigebracht hätte. Aber was soll´s. Besser spät, als nie ;). Arbeiten wir uns einfach von hinten an die Sache heran. Das Simplexverfahren habe ich ja bereits in einem Extra-Artikel erläutert, nun möchte ich in diesem Artikel auf eine Vorstufe, nämlich das Lösen Linearer Gleichungssysteme eingehen.

Was sind lineare Gleichungssysteme?

Lineare Gleichungssysteme (kurz „LGS“) sind Gleichungssysteme mit mehr als einer Unbekannten oder Variablen. Der Begriff „Gleichungssystem“ deutet darauf hin, dass mehrere Gleichungen zusammenhängen, bzw. voneinander anhängig sind.

Natürlich gibt es auch Gleichungen mit einer oder zwei Unbekannten, die die für sich alleine stehen. Ein einfaches Beispiel für Gleichungen mit einer Unbekannten, wäre z.B. 6x + 2 = 14. Die Lösung lautet in diesem Fall x=2.

Eine Gleichung mit zwei Unbekannten kann man durch das sog. „Einsetzungsverfahren“ lösen, indem man die Gleichung nach einer der beiden Variablen umstellt und diese dann durch die andere ausdrückt.

Beispiel: 6x + 4y +2 = 24

Um in der Gleichung nur noch eine Variable stehen zu haben, stellen wir z.B. nach y um und erhalten:

4y= 24 – 6x – 2    | (:4)
y= 6 – 1,5x – 0,5

y= 5,5 – 1,5x

Jetzt können wir diese nach y umgestellte Gleichung wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzten:

6x + 4(5,5 – 1,5x) + 2 = 24
6x + 22 – 6x + 2 = 24                | nach x auflösen
0x = 0

In diesem Beispiel ist x = 0 und fällt damit weg.  Um die Lösung für y zu berechnen, setzt man das Ergebnis für den x-Wert in die Gleichung y =5,5 – (1,5*0) ein und da der x-Wert gleich Null ist, erhalten als Lösung y= 5,5. Wäre der x-Wert eine „normale“ Zahl, so würde man diesen Wert mit  (-1,5) ausmultiplizieren. Da aber (-1,5)*0 = 0 ist, bleibt für den y-Wert nur noch 5,5 stehen.

Als Probe setzen wir nun den x- und y-Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüfen das Ergebnis:

6(*0) + 4(*5,5) +2 = 24

Das Ergebnis stimmt.

Das war ein Beispiel für eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Betrachten wir nun ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten

Wir sind beim Bäcker: Ein Vollkornbrot und 6 Brötchen kosten zusammen 4,60 €. Zudem weiß man, dass ein halbes Brot und 2 Brötchen 1,95 € kosten. Wie viel kostet aber jetzt das Brot und wie teuer ist ein Brötchen?

In diesem Beispiel haben wir 2 Unbekannte, das Brot (x) und die Brötchen (y). Zudem haben wir es nicht mit einer Gleichung zu tun, sondern mit zwei Gleichungen, die beide zueinander gehören und auch beide stimmen müssen. Ziel ist es daher, für x und y einen Wert zu erhalten, bei dem beide Gleichungen stimmen. Wie gehen wir also vor?

Zunächst können wir das Beispiel in Form von zwei Gleichungen ausdrücken:

x + 6y = 4,60                           | Gleichung 1
0,5x + 2y = 1,95                     | Gleichung 2

Es gibt insgesamt zwei Wege, dieses Gleichungssystem zu lösen. Einen Weg – das Einsetzungsverfahren – haben wir eben bereits betrachtet. Zudem kann man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auch mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Lösung mit Einsetzungsverfahren

Wir können es jedoch für dieses Beispiel nochmal anwenden, indem wir eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.

Bei unserem Beispiel können wir die erste Gleichung nach x auflösen:

x + 6y = 4,60
x = 4,60 – 6y

Wir haben die Gleichung nun nach x aufgelöst und können diese gleich in die zweite Gleichung des Gleichungssystems einsetzen:

0,5 (4,60 - 6y) + 2y = 1,95
2,30 - 3y + 2y = 1,95| Ausmultiplizieren
2,30 -y = 1,95 | -2,30
-y = 1,95 - 2,30 | Zusammenfassen
-y = -0,35 | : (-1)
y = 0,35

Nun haben wir eine Lösung für y errechnet, Wir wissen, dass ein Brötchen 0,35 € kostet. Um den Preis für das Brot herauszufinden, müssen wir den Brötchenpreis nur noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.

x + 6y = 4,60| y = 0,35 einsetzen
x + 6(0,35) = 4,60| Ausmultiplizieren
x + 2,10 = 4,60| Zusammenfassen
x = 2,50

Damit erhalten wir auch die Lösung für x, bzw. das Brot, welches 2,50 € kostet. Der Brot- und Brötchenpreis muss für beide Gleichungen zutreffen. Am besten man macht nochmal die Probe mit der zweiten Gleichung, um ganz sicher zu gehen:

0,5 x+ 2y = 1,95| x=2,50 und y=0,35 einsetzen
0,5 (2,50) + 2(0,35) = 1,95| Ausmultiplizieren
1,25 + 0,75 = 1,95| Addieren
1,95 = 1,95| Stimmt!

Beide Gleichungen stimmen, wir haben uns also nicht verrechnet ;).

Lösung mit Gauß-Verfahren

Neben dem Einsetzungverfahren kann man ein lineares Gleichungssystem auch mit dem Gauß-Eliminationsverfahren errechnen. Der Begriff „Eliminationsverfahren“ verrät schon, dass hierbei Variablen eliminiert werden. Das Gauß-Verfahren wird i.d.R. bei allen Gleichungssystemen ab 3 Variablen gebraucht, kann aber auch in diesem Fall verwendet werden. Wie sieht das aber praktisch aus?

Nehmen wir wieder unser Beispiel von oben:

x + 6y = 4,60                           | Gleichung 1
0,5x + 2y = 1,95                     | Gleichung 2

Ziel bei dieser Rechenvariante ist es, eine Variable zu eliminieren, also los zu werden. Hierfür versuchen wir zunächst zu schauen, womit sich eine Variable, z.B. das x eliminieren lässt. Am besten schreibt man das Gleichungssystem in Form einer Matrix um. Das ist bei zwei Variablen zwar nicht unbedingt nötig, aber spätestens ab drei Unbekannten ist diese Schreibweise deutlich einfacher. In unserem Fall würde das Gleichungssystem in Form einer Matrix so aussehen:

In der 1. Spalte sehen wir jeweils die x-Werte, in der 2. Spalte die y-Werte und in der 3. Spalte auf der „rechten Seite“ die Lösungen der Gleichungen. Ziel beim Gauß-Verfahren ist es nun, durch Umformungen Variablen zu eliminieren, ohne die Lösungsmenge zu verändern. Zu den erlaubten Äquivalenzumformungen gehören:

  1. Das Vertauschen von zwei Zeilen der Matrix
  2. Addition einer Zeile der Matrix zu einer anderen Zeile
  3. Multiplikation einer Zeile der Matrix mit einer Zahl ungleich Null

Oft werden zwei oder drei dieses möglichen Umformungen auch in einem Schritt gemacht. Die Umformungen werden solange gemacht, bis die sog. „Stufenform“ erreicht ist. Man fängt unten rechts an und versucht den Wert der Matrix zu einer Null umzuformen. In unserem Beispiel mit zwei Gleichungen müsste also nur die 0,5 zu einer Null umgeformt werden. Wie eine Stufenmatrix in einem Fall mit drei Unbekannten aussieht, schauen wir uns anschließend an.

Um jetzt eine Variable, z.B. das x zu eliminieren, müssen wir in der Matrix schauen, welche Umformung notwendig wäre, um die 0,5 zu einer Null umzuformen. Dies könnte man z.B. erreichen, indem man  die 1. Zeile durch (-2) teilt und zur 2. Zeile hinzuaddiert:

Teile 1. Zeile durch 2 und addiere sie zur -2. Zeile hinzu:

Damit wären wir eigentlich schon fertig, denn wir hätten in der 2. Gleichung den x-Wert (1.Spalte) eliminiert. In der 2. Spalte haben wir ja den y-Wert und in der 3. Spalte die Lösung der Gleichung. Wir erhalten also durch die Umformung: -1y = -0,35 oder 1y = 0,35. Das Brötchen kostet also immer noch 0,35 €. Diesen Wert kann man jetzt wieder in die 1. Zeile einsetzen, indem man 6*0,35 rechnet und die Gleichung wieder nach x auflöst:

1x + 6(0,35) = 4,60| y-Wert einsetzen
x + 2,10 = 4,60| Auflösen
x = 2,50

Wir kommen also mit beiden Lösungsverfahren ans Ziel. Ab einem Gleichungssystem mit drei Unbekannten wird das Einsetzungsverfahren jedoch sehr kompliziert und unübersichtlich, sodass dann immer das Gauß-Verfahren vorzuziehen ist. Einen solchen Fall schauen wir uns jetzt genauer an.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

6x + 4y +2z = 8                         | Gleichung 1
4x + 0,5y + 8z = 14                  | Gleichung 2

9y + 12z = -4                             | Gleichung 3

Wir möchten nun die Werte für x, y und z anhand des Gauß-Verfahrens errechnen. Hierzu formen wir das Gleichungssystem wieder zu einer Matrix um, weil es so übersichtlicher ist:

Ziel ist es nun, diese Matrix in die vorher erwähnte Stufenform zu bringen. Diese würde hier wie folgt aussehen:

Anhand der Stufenform kann man gut das Ziel der Umformung erkennen.  Auf der rechten Seite haben wir ja jeweils die Lösungen der drei Gleichungen. Durch Umformen der Matrix in die Stufenform hat man in der 3. Zeile nur noch z als Variable, die man anhand der Lösung auflösen und in die 2. Zeile einsetzen und y ausrechnen kann. Mit den Werten für y und z erhält man dann auch die Lösung für x.

In unserem Beispiel beginnen wir wieder ganz unten in der linken Ecke. Da die 3. Gleichung keinen x-Wert als Variable enthält, müssen wir hier nichts mehr machen, der Wert ist bereits Null.

Wir können nun versuchen, die 4 in der 2. Zeile zu eliminieren, indem wir mit folgendem Schritt umformen:

Teile die erste Zeile durch das 3, multipliziere sie mit 2 und addiere sie zu der 2. Zeile hinzu:

Wir führen in der 2. Zeile folgende Rechenschritte durch:

  • (6/3) * (-2) + 4 = 0
  • (4/3) * (-2) + 0,5 = -2,167
  • (2/3) * (-2) + 8 = 6,67
  • (8/3) * (-2) + 14 = 8,67

Nach der 1. Umformung erhalten wir für die 2. Zeile folgende Werte:

Jetzt stört nur noch die 9 in der dritten Zeile. Denn die 3. Zeile enthält immer noch zwei Variablen (y=9 und 7=12), von denen wir jetzt y eliminieren wollen.

Hierzu müssen wir versuchen, die 2. Zeile irgendwie so umzuformen, dass sich die 9 durch Addition eliminieren lässt.

Addiere das 4,153fache der 2. Zeile zur 3. Zeile:

Es ergeben sich folgende Rechenschritte:

  • 0 * (4,153) + 0 = 0
  • -2,167 * (4,153) + 9 = 0
  • 6,67  * (4,153) + 12 = 39,70051
  • 8,67  * (4,153) + (-4) = 32,00651

Die 1. Zeile wäre für diesen Rechenschritt nicht geeignet, da dort in der 1. Spalte noch die 6 steht, die, multipliziert mit 4,153 und addiert mit der Null in der 3. Zeile diese wieder „löschen“ wurde.

Durch die Äquivalenzumformung sieht unsere Matrix jetzt wie folgt aus (Werte grundet):

Wir haben unser Ziel, die Stufenform erreicht. Jetzt können wir die Ergebnisse für x, y und z ausrechnen. Beginnen wir in der 3. Zeile. Dort haben wir nur noch 39,70z und als Lösungsmenge 32,01 stehen. Um ein genaueres Ergebnis für z zu erhalten, rechnen wir am besten mit ein paar Kommastellen mehr. Für z ergibt sich gerundet:

39,70051 z = 32,00651
z = 0,806

Nun können wir auch y bestimmen, indem wir den z-Wert in die 2. Zeile eingeben und nach y auflösen:

-2,167y + 6,67z= 8,67 | z-Wert einsetzen
-2,167y + 6,67(0,806) = 8,67| Auflösen
-2,167y + 5,376 = 8,67| -5,376
-2,167y = 3,294| : (-2,167)
y = - 1,52

Jetzt können wir mit y= -1,52 und z=0,806 auch den x-Wert ausrechnen, indem wir beide bereits errechneten Variablen in die 1. Zeile der Matrix, bzw. die erste umgeformte Gleichung einsetzen:

6x + 4y +2z = 8| y- und z-Werte einsetzen
6x + 4(-1,52) +2(0,806) = 8| Auflösen
6x - 6,08 + 1,612 = 8| Zusammenfassen
6x = 12,468| :6
x= 2,078

Mit dem Gauß-Verfahren hätten wir jetzt alle drei Variablen x, y und z bestimmt und unser lineares Gleichungssystem gelöst. Ob die Werte für x=2,078, y= -1,52 und z= 0,806 auch wirklich richtig sind, üperprüfen wir, indem wir diese Werte in jede der 3 Ausgangsgleichungen (vor Äuqivalenzumformungen) einsetzen und überprüfen, ob das Ergebnis stimmt:

Probe Gleichung 1:

6x + 4y + 2z = 8
6(2,078) + 4(-1,52) +2(0,806) = 12,468 – 6,08 + 1,612 =8

Probe Gleichung 2:

4x + 0,5y + 8z = 14
4(2,078) + 0,5(-1,52) +8(0,806) =8,312 – 0,76 +6,448 = 14

Probe Gleichung 3:

9y + 12z = -4
9(-1,52) + 12(0,806) = -4

Die Probe zeigt: Wir haben uns nicht verrechnet. Die Ergebnisse stimmen also, das lineare Gleichungssystem wäre gelöst. Hierbei sollte man allerdings beachten, dass man nicht zu schnell kürzt, da man mit den Werten für die zuerst ausgerechneten Variablen auch noch weiterrechnen muss und diese ggf. zu stark abweichen könnten. Das wird man dann spätestens bei der Probe sehen.

Das Gauß´sche Eliminationsverfahren ist zum Lösen linearer Gleichungssteme mit mindestens drei Variablen ideal geeignet. Je mehr Variablen es gibt, umso komplexer wird die Matrix und die ganze Rechnerei, aber wenn man von Anfang an Ruhe walten lässt und sorgfältig vorgeht, müsste zum Ende hin alles stimmen ;). Ansonsten muss man wieder von vorne anfangen oder den Fehler finden.

Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen

Noch ein kurzer Nachtrag zur Lösung. In unserem Beispiel konnte das lineare Gleichungssystem eindeutig gelöst werden, da die Lösung für x, y und z einen bestimmten Wert ergibt. Damit sind alle drei Variablen eindeutig bestimmt und wir können die sog. Lösungsmenge des LGS angeben. Die Lösungsmenge enthält alle Werte für die Variablen, so dass die drei Gleichungen „richtig“ sind. Hier besteht die Lösungsmenge aus drei eindeutigen Werten:

L = {(x,y,z) = (2,078, -1,52, 0,806)}

Es gibt auch die Fälle, dass ein lineares Gleichungssystem mehrdeutig lösbar oder gar nicht lösbar ist.

In unserem Beispiel wäre das Gleichungssystem z.B. gar nicht lösbar, wenn in der letzten Zeile (nach Umformung) statt der 39,70z nur eine Null stehen würde.

Dann müsste nämlich gelten Oz = 32,01, was eine falsche Aussage wäre. In diesem Fall hätten wir eine leere Lösungsmenge.

L = { }

Mehrdeutig lösbar wäre unser Gleichungssystem, wenn wir in der letzten Zeile statt 39,70z und 32,01 einfach nur zwei Nullen stehen hätten, sodass gilt: 0z = 0.

Das ist natürlich korrekt, denn für z kann man mehrere, unendlich viele Werte einsetzen, sodass diese Aussage stimmt. somit wäre z nicht eindeutig bestimmbar und wir können keinen eindeutigen z-Wert in die zweite Zeile/Gleichung einsetzten, um y aufzulösen. In diesem Fall hätte unsere 2. Gleichung immer noch zwei Variablen, bzw. wir hätten insgesamt nur zwei Gleichungen, aber drei Variablen.

Ist das der Fall, kann man die Gleichung (hier: -2,167y + 6,67z = 8,67) nach einer Variablen auflösen, z.B. nach y (-2,167y= 8,67 -6,67z). Man erhält dann: y=-4 + 3,078z.

Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich dann: 6x – 4(-4 + 3,078z) + 2z = 8. Daraus folgt für x:

6x +16 – 12,312z = 8
6x = -8 + 12,312z
x = -1,333 + 2,052z

Damit gibt es  unendlich viele Lösungen. Denn alle Werte mit folgender Lösungsmenge lösen das lineare Gleichungssystem:

L = { (x, y, z) = (-1,333 + 2,052z, -4 + 3,078z, z}

Lineare Gleichungssysteme mit mehrdeutigen Lösungen treten oft auf, wenn mehr Variablen, als Gleichungen vorhanden sind. Aber auch hier kann es wieder sein, dass das LGS gar nicht lösbar ist, sondern eine leere Lösungsmenge enthält.

Soviel erstmal zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Das Thema Mathe wird mich sicherlich noch durch das ganze Studium verfolgen. Aber es geht voran, langsam, aber stetig ;).

Tipp:

Mehr Infos zum Begriff des linearen Gleichungssystems, dem Gauß- Algorithmus, sowie der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme gibt es in diesem Online-Tutorial von Lecturio.de: Lineare Gleichungssysteme.


Über den Autor

Alicia
Hier schreibt Alicia (Google+), 32 aus dem schönen Hamburg. Im WS 2010/11 habe ich mein WiWi-Fernstudium an der Fernuni-Hagen begonnen - Und bereits nach 18 Monaten erfolgreich abgebrochen. Die Gründe: Eine voreilige Entscheidung, berufliche Veränderungen und die Einsicht, dass nicht jeder der geborene Fernstudent ist. In meinem Blog berichte ich über persönliche Erfahrungen, Eindrücke, Probleme und Fragen aus meiner Fernstudienzeit, sowie allgemeine Informationen und News rund um das Thema Fernstudium und wirtschaftswissenschaftliche Studiengänge. Mein Ziel ist es, Studieninteressierte bei ihrer Entscheidungsfindung zu unterstützen, damit das Projekt Fernstudium auch ein nachhaltiger Erfolg wird.

11 Kommentare zu "Lineare Gleichungssysteme lösen"

  1. Hallo Alicia,

    da kommt ja noch einiges auf mich zu! Ich hoffe deine mathematischen Ausführungen werden mir helfen.

    Gruß,
    Matthias

  2. Hey Matthias,

    ja, man arbeitet sich so langsam voran. Aber es ist echt nicht so schlimm, wie es aussieht. Wichtig ist nur, dass man mit den Grundlagen anfängt und da sicher ist, dann geht der Rest viel schneller, als bei mir im ersten Semester ;).

    Viele Grüße,

    Alicia

  3. Hallo Alicia!

    Ich hab mich entschieden im WS 11/12 ein Fernstudium im Bereich WIWI anzufangen, vorher habe ich eine Ausbildung zur Handelsfachwirtin absolviert (2010.)
    Nachdem ich gestern auf dein Biog gestossen bin, habe ich es verschlungen…
    Ich denke die nötige Eigenmotivation und Disziplin mitzubringen und freu mich wenn endlich Oktober ist 😀
    Momentan versuch ich meine Mathekenntnisse aufzufrischen… Abi ist schon 4 Jahre her und in der Ausbildung hatte ich mehr Rechnungswesen…
    Also fang ich ganz von vorn an, Grenzwerte, Differential-, Integralrechnung und der ganze Spaß 😉 … nur Statistik… das hatten wir gar nicht 🙁 ist der Einstieg in das Fachgebiet schwer?

    LG

    Mandy

  4. Hey Mandy,

    cool, dass du ab Oktober auch ein WIWI-Fernstudent bist ;).

    Und du machst es genau richtig, wenn du bereits jetzt deine Mathe-Kenntnisse auffrischst! Damit wird dir der Kurs zu Linearer Algbra und Analysis, aber auch BWL und VWL deutlich leichter fallen!

    Der Stoff für Statistik ist – ähnlich wie bei Mathe – sehr umfangreich und gliedert sich in die Themenblöcke Deskriptive Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Inferenz-Statistik. Die Studienhefte sind ok, aber auch hier gibt es sicherlich andere Bücher oder Online-Tutorials, mit denen man sich den Stoff leichter und verständlicher beibringen kann.

    Ich werde mir bei Statistik auch wieder ein paar Online-Tutorials anschauen, um wieder in den Stoff reinzukommen und danach die Studienhefte durchgehen. Ich hatte Statistik bereits in meinem Erststudium, aber es war nicht eines meiner Lieblingsfächer. Zudem ist das auch wieder ein paar Jährchen her. Wenn du bisher kein Statistik hattest, ist das überhaupt nicht schlimm, aber wenn dir noch Zeit bleibt, würde versuchen, noch vor Studienbeginn im Oktober einen ersten Einstieg ins Thema zu finden, dann sollte alles klappen ;)!

    Ich wünsche dir viel Spaß beim Lernen und ein erfolgreiches Fernstudium!

    Liebe Grüße,

    Alicia

  5. Hi Mandy,

    ich studier auch ab diesem Oktober Wiwi in Hagen:)) Vllt können wir uns ja mal auf Facebook schreiben oder so? Ich bin schon die ganze Zeit auf der Suche nach Ersties :)LG

  6. Hallo Alicia,

    vielen dank für deine Tollen Blog-Beiträge. Hat mir die Entscheidung zu studieren sehr erleichtert.

    Sollte meiner Zulassung nichts im Wege stehen werde ich ab diesem WS WInf studieren.

    Vielen Dank und liebe Grüße,

    Sascha

  7. Hey Sascha,

    vielen Dank für deinen Kommentar! Freut mich sehr, dass dir mein Blog gefällt :D, das motiviert!

    Ich hoffe, dass die Zulassung glatt läuft und wünsche dir viel Spaß und Erfolg bei deinem Fernstudium!

    Liebe Grüße,

    Alicia

  8. Hey Melina!

    Bin leider nicht von der Facebook Idee begeistert, da es einige Leute gibt denen es nichts angeht, dass ich nebenbei studier, mein Unternehmen möchte das nämlich nicht!
    Aber kannst mir gern ne Email schreiben:

    Turboprinzessin86@gmx.de!

    Wo kommst du denn her??

    Freu mich schon total auf das Studium!

    LG Mandy

  9. Hallo Alicia,

    ich bin auf der Suche nach Hilfe beim Simplextableau auf deinen Blog gestoßen. Hat mir sehr geholfen, weswegen ich mich mal weiter durchgeklickt habe. Aber bei den obigen Ausführungen bin ich gestolpert. Du rechnest:

    Beispiel: 6x + 4y +2 = 24

    y= 6 – 4x – 12
    y= -6 -4x

    woraus folgt:
    6x + 4(-6 – 4x) + 2 = 24
    6x -24 – 16x + 2 = 24
    -10x = 46
    x= -4, 6

    Mit ist unklar, wie du auf die Umstellung bei y kommst. Meine Lösung lautet:

    6x + 4y + 2 = 24
    4y = 24 -2 -6x
    4y = 22 – 6x
    y = 5,5 -1,5x

    woraus folgt:
    6x + 4(5,5 – 1,5x) + 2 = 24
    6x + 22 – 6x + 2 = 24

    x ist also nicht existent, wodurch die Ausgangsgleichung lautet:

    4 x 5,5 + 2 = 24

  10. Hi!

    Klasse, ich kann nicht mehr aufhören hier rumzustöbern und bin total begeistert von der Idee das Fernstudium Wirtschaftsinformatik zu beginnen.

    Gruss

    Alex

  11. Hey Pit,

    vielen Dank für deinen Beitrag, den ich übrigens nicht gelöscht, sondern erst jetzt freigegeben habe ;).

    Du hast absolut Recht, die Umstellung war nicht korrekt. Vielen Dank für den Hinweis, ich habe die Auflösung der Gleichung jetzt aktualisiert, sodass es passen müsste!

    Vielen Dank & Grüße,

    Alicia

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