Kettenregel: Ableitung und Beispiele

Die Kettenregel ist eine der vielen Ableitungsregeln, aber meiner Meinung nach die allerschlimmste. Faktorregel und Summenregel gehen ja noch, bei Produkregel und Quotientenregel wird es schon etwas haariger, aber die Kettenregel übertrifft ja echt alles. Aber egal, Augen zu und durch, nützt ja nichts.

Wann braucht man die Kettenregel?

Die Kettenregel wird zur Ableitung von verketteten oder verschachtelten Funktionen angewendet. Verkettete Funktionen sind Funktionen, die keine normalen “Grundfunktionen” mehr sind. Normale Grundfunktionen wären z.B. f(x) = x³ oder f(x) = sin (x), f(x) = tan (x) oder f(x) = √x oder Ähnliches.

Verkettete Funktionen hingegen bestehen, wie der Name schon sagt, aus mehreren, bzw, einer Kette von Funktionen, die ineinander verschachtelt sind. Hört sich krank an – ist es auch.

Am besten, man demonstriert es mal anhand einiger Beispiele. Verkettete Funktionen wären z.B. f(x) = (5x – 7)² oder sin (4x) oder e8x + 3.

Woran erkennt man, dass man die Kettenregel anwenden muss?

Verkettete Funktionen zu erkennen, ist gar nicht so einfach und bereitet nicht nur Schülern der Oberstufen, sondern auch so manchem Studenten Kopfzerbrechen.

Immer wenn eine Funktion ein Argument hat, dass nicht NUR x ist, sondern eine andere Funktion (z.B. √x oder x³), also wenn mit dem x noch was passiert, ist es eine verkettete Funktion.

In den beiden eben genannten Beispielen für verkettete Funktionen kann man das ziemlich leicht erkennen. Eine Grundfunktion wäre z.B. f(x) = x². Die Funktion f(x) = (5x – 7)² ist deshalb eine verkettete Funktion, weil das Argument x, nicht alleine steht, sondern mit “5x – 7″ eine innere Funktion bildet. Der innere Ausdruck “5x – 7″ wird quadriert und das ist dann die äußere Funktion.

Man geht also alle Funktionen durch, die vorkommen und schaue nach, ob jede einzelne Funktion das Argument x hat. Wenn ja, ist es keine verkettete Funktion, wenn aber mindestens eine Funktion nicht das Argument x hat, sondern ein anderes Argument (z.B. sin(x) oder ln(x) oder √x oder x²), ist es eine verkettete Funktion.

Eine verkettete Funktion ist also eine Funktion, die aus einer inneren und einer äußeren Funktion besteht.

Hier nochmal ein Video, das anhand einiger Beispiele zeigt, woran man eine verkettete Funktion erkennt:

Was jetzt die innere und was die äußere Funktion ist, kann man sich dadurch ableiten, indem man für das x einfach irgendeine Zahl einsetzt und sich dann überlegt, wie man die Funktion mit dem Taschenrechner ausrechnen würde, bzw. “Was würde man zuerst ausrechnen?”. Wäre das x in unserem Beispiel eine 4, würde man doch zuerst rechnen “(5*4) – 7″ ist gleich 20 – 7 = 14 und dieses Ergebnis dann quadrieren. Der Teil, den man zuerst ausrechnen würde, ist die innere (oder erste) Funktion, der Teil, den man anschließend berechnen würde, die äußere Funktion.

Auch hierzu gibt es ein kurzes, aber gutes Video, welches auch einige Sonder,- oder Spezialfälle behandelt:

Kettenregel ableiten

Zu erkennen, wann eine Kettenregel angewendet werden muss und welche Terme die innere und äußere Funktion bilden, ist schon mal die halbe Miete. Dann muss man das ganze Ding aber auch noch irgendwie ableiten.

Hier gibt es einen wichtigen Merksatz:

Ableitung einer verketteten Funktion: Äußere Ableitung * Innere Ableitung

Nehmen wir hierzu gleich mal das Beispiel von oben, nämlich wieder die Funktion f(x) = (5x – 7)². Wir haben bereits festgestellt, dass es sich um eine verkettete Funktion handelt, nämlich einmal die lineare Funktion 5x – 7 (diese können wir auch einfach mit dem Buchstaben u zusammenfassen) und dann die quadratische Funktion (u)². Wir wissen auch, dass “5×-7″ oder “u”die innere Funktion und (u)² die äußere Funktion ist. Wie leitet man jetzt ab? Die Regel besagt ja, äußere Ableitung * Innere Ableitung.

Ein wichtiger Schritt, der bereits vollzogen wurde, ist der Schritt der Substitution. Wir haben die innere Funktion 5×-7 nämlich bereits durch den Buchstaben u ersetzt. Man hätte auch irgendeinen anderen Buchstaben nehmen können, außer vielleicht ein x, aber ansonsten ist das völlig egal. Das Ersetzen dieses Terms durch einen Buchstaben macht die Sache nicht nur übersichtlicher, sondern hilft auch beim ableiten, wie wir gleich sehen werden:

Denn um die gesamte Funktion f (x) = ( 5x – 7)² abzuleiten, fangen wir mit der Ableitung der äußeren Funktion an:

  • Äußere Funktion =   u²
  • Äußere Ableitung = 2u

Der Term, für den das u steht, ist bei der äußeren Ableitung völlig egal, sodass es viel übersichtlicher war, diesen durch einen einzigen Buchstaben zu ersetzen. Nachdem wir die äußere Funktion abgleitet haben, geht es nun an die Ableitung der inneren Funktion:

  • Innere Funktion = 5×-7
  • Innere Ableitung = 5

So, jetzt haben wir sowohl die Ableitung der äußeren, als auch der inneren Funktion. Nun gilt es diese beiden Ableitungen, entsprechend des Merksatzes miteinander zu multiplizieren:

  • f(x)’ = 2u · 5 = 10u

Jetzt setzen wir für den Buchstaben u die ursprüngliche innere Funktion ein, nämlich 5×-7. Wir ersetzen also wieder zurück und erhalten dann:

  • f(x)’ =  10 ( 5×-7 )

Somit hätten wir also die Ableitung dieser Kettenfunktion errechnet.

Zusammengefasst noch einmal Schritt für Schritt:

  1. Handelt es sich um eine verkettete Funktion?
  2. Innere und äußere Funktion bestimmen
  3. Innere Funktion durch eine Variable ersetzen (z.B. den Buchstaben u) = Substitution
  4. Äußere Funktion ableiten
  5. Innere Funktion ableiten
  6. Äußere Ableitung mit innerer Ableitung multiplizieren
  7. Zum Schluss Variable wieder zurück-substituieren durch den ursprünglichen Term

Kettenregel: Typische Beispiele

Ich finde, dass man die Kettenregel am besten nachvollziehen und verstehen lernt, wenn man einige Beispiele durchgeht. Je mehr, umso besser. Hier sind also ein paar typische Beispiele, bei denen die Kettenregel zur Anwendung kommt:

Beispiel 1:

f(x) = 7 · sin ( 4x )

Handelt es sich um eine verkettete Funktion? Ja, denn die Sinusfunktion hat nicht nur das x als Argument, sondern 4x. Wir haben also zwei ineinander verschachtelte Funktionen, eine lineare Funktion (4x) und die Sinusfunktion.

Wenn wir diese Funktion mit dem Taschenrechner ausrechnen müssten und für x z.B. die 3 einsetzen würden, würden wir 4*3 zuerst ausrechnen. Die innere Funktion wäre also 4x. Auch hier können wir statt 4x wieder durch die Variable u ersetzen:

  • Substitution: u = 4x

Die äußere Funktion wäre demnach 7 · sin(u).

Innere und äußere Ableitung wären damit bestimmt und nun können wir beide Funktionen einzeln ableiten:

  • Ableitung äußere Funktion = 7 · cos(u), denn: Die Ableitung von sin(x) ist cos(x)
  • Ableitung innere Funktion = 4

Nun multiplizieren wir beide Ableitungen miteinander (Äußere Ableitung*Innere Ableitung):

  • f(x)’ = 4 · 7 · cos(u)

Und zum Schluss wird wieder zurück-substituiert, indem wir das u durch die ursprüngliche Funktion austauschen:

  • f(x)’ = 28 · cos(4x)

Beispiel 2:

f(x) = e6x + 3

Hier haben wir es ebenfalls mit einer verketteten Funktion zu tun, nämlich einer Exponentialfunktion, bei der im Exponenten ebenfalls eine Funktion steht. Würde da einfach nur stehen ex wäre es keine verkettete Funktion. So, jetzt haben wir aber eine.

Der Exponent 6x+3 bildet die innere Funktion, wir ersetzen ihn wieder durch u:

  • Substitution: u = 6x + 3

Die äußere Funktion ist dann logischerweise eu.

Jetzt wird wieder abgeleitet:

  • Ableitung äußere Funktion = eu, denn die Ableitung von ex oder eu enspricht eu, bzw. ex
  • Ableitung innere Funktion = 6

Äußere Ableitung*Innere Ableitung:

  • f(x)’ = eu · 6

Die Variable u ersetzen wir wieder durch die ursprüngliche innere Funktion:

  • f(x)’ = e6x + 3 · 6

Beispiel 3:

Und weil es so viel Spaß macht, gleich noch mal und zwar ein bisschen komplizierter:

f(x) = e(-x²/2) + 1

Eigentlich ist dieses Beispiel dem Beispiel 2 sehr ähnlich, außer, dass im Exponenten ein Bruch vorkommt. Der Exponent (-x²/2) + 1 bildet wieder die innere Funktion (abgekürzt u) und eu wäre wieder die äußere Funktion.

Die Ableitung der äußeren Funktion ist wieder einfach:

  • Ableitung äußere Funktion = eu

Die Ableitung der inneren Funktion aber eigentlich auch. Die 1 im Eponenten fällt bei der Ableitung weg. Wie leitet man einen Bruch ab? Nun, z.B. mit der Quotientenregel. Diese sieht in der Kurzschreibweise gefasst wie folgt aus (siehe auch Ableitungsregeln Tabelle):

Unser u (=Zählerterm) ist demnach -x². Die Ableitung von u, also u’ ist -2x. Unser v (=Nennerterm) ist 2. Die Ableitung von 2, also v’ ist Null. Und als letztes bestimmen wir noch v², das wäre 2² = 4. Jetzt haben wir alle “Einzelteile”, um den gesamten Bruch abzuleiten.

Im Zähler rechnen wir: (-2x * 2) – (-x² *0). Da der zweite Term wegfällt, bleiben im Zähler nur (-2x * 2) = -4x stehen. Im Nenner rechnen wir 2² = 4. Der Bruch lässt sich jetzt auch kürzen, sodass aus -4x/4 nur noch -x verbleibt verbleiben. Das ist die Ableitung des Bruchs, bzw. der inneren Funktion:

  • Ableitung innere Funktion = (-x)

Äußere Ableitung*Innere Ableitung:

  • f(x)’ = eu * (-x)

Das u ersetzen wir wieder zurück und erhalten als Ableitung der verketteten Funktion abschließend:

  • f(x)’ = e(-x²/2) + 1 * (-x)

Beispiel 4:

Jetzt mal ein Beispiel mit einer Logarithmusfunktion:

f(x)=ln (x² + 1)

Die innere Funktion ist x² + 1 (entspricht u), die äußere Funktion ist ln(u).

  • Ableitung innere Funktion = 2x
  • Ableitung äußere Funktion = 1/u, denn die Ableitung von ln(u) ist 1/u

Jetzt bilden wir wieder das Produkt aus äußerer und innerer Ableitung und erhalten:

  • f(x)’ = 1/u * 2x

Jetzt folgt die Rücksubstitution:

  • f(x)’ = 1/(x²+1) * 2x

Die Lösung kann man auch einfacher schrieben als: 2x/x²+1 (2x mit dem Zähler, der 1, multiplizieren).

Beispiel 5:

f(x) = (x³ + 5x -3)³

  • Innere Funktion = x³ + 5x -3
  • Substitution = x³ + 5x -3 = u
  • Äußere Funktion = u³
  • Ableitung innere Funktion = 3x² + 5
  • Ableitung äußere Funktion = 3u²

Äußere Ableitung*Innere Ableitung

  • f(x)’ = 3u² * (3x²+5)

Durch Rück-Substitution erhalten wir die Lösung der verketteten Funktion:

  • f(x)’ = 3(x³ + 5x -3)² * (3x²+5)

Zum Schluss

Zur Kettenregel gibt es im Netz noch zahlreiche weitere Beispiele und Anwendungsfälle. Ich hoffe, ich der Artikel trägt ein bisschen zum Basis-Knowhow bei. Wer Lust hat, noch weitere Beispiele zur Kettenregel durchzurechnen, der findet z.B. unter http://sos-mathe.ch/a/a1/a12/aufg_a12.html viele weitere Aufgaben inklusive ausführlichen Lösungswegen als PDF zum download. Bei Lecturio gibt es auch ein längeres und ausführliches Online-Tutorial zur Kettenregel.

Und da nicht nur die Kettenregel, sondern alle Ableitungsregeln Bestandteil des Studiums, bzw. der Differentialrechnung sind, ist eine kleine Formelsammlung zu den einzelnen Ableitungsregeln ganz hilfreich. Hier findet ihr eine Kurzübersicht der Ableitungsregeln oder eine ausführliche Mathe Formelsammlung von Wiwi-Online.

Bei der Kettenregel hilft echt nur Üben, Üben, Üben. Aber sie ist auch wieder mal ein gutes Beispiel, dass Sachen, die Anfangs total schwer aussehen, auch zu bewältigen sind. Es ist, wie bei so vielen Inhalten im Studium: Zuerst schlägt man die Hände überm Kopf zusammen und fragt sich, wie man das alles bewältigen und verstehen soll, aber jammern nützt nichts, man muss einfach mal an die Sache ran.

Ich schiebe unangenehme Dinge auch gerne vor mir her, aber davon wird es nur noch schlimmer. Ich stecke zurzeit mal wieder (oder immer noch) total im Stress bzgl. der Selbstständigkeit und hatte in der letzten Woche auch weniger Zeit für das Studium, aber die Gedanken geistern dann doch immer um das Thema herum. Daher ist es besser, in vielleicht kleinen, aber stetigen Schritten voranzuschreiten ;).

Tipp: 

Mehr Infos und Beispiele zum Thema Kettenregel gibt es in diesem Online-Tutorial von Lecturio.de: Die Kettenregel.