Einführung in die Differenzialrechnung

Differentialrechnung – Für die Einen ein Hobby, für die Anderen ein Buch mit sieben Siegeln. Doch auf wem bei Begriffen, wie Tangentensteigung, Ableitung, Grenzwert, Stetigkeit und Extremstellen schon gleich jegliche Lust auf Mathe vergeht, dem sei gesagt: Es hört sich alles schlimmer an, als es ist.

Differentialrechnung ist ein Handwerk, welches sogar Spaß machen kann, wenn man es von der Pieke auf versteht. Schließlich kann man auch von einem Tischler, der noch nie eine Säge in der Hand hatte, kein brauchbares Möbelstück erwarten. Ein Grund, weshalb Mathe, bzw. in diesem Fall Differentialrechnung, bei vielen für Bauchschmerzen sorgt, sind hochmathematisch formulierte Quellen, bei denen man ein Diplom braucht, um bei dem Fachlatein einigermaßen durchzusteigen. Ein weiter Grund liegt schlichtweg darin, dass oftmals die Basics übersprungen werden und man an irgendeiner tieferen Stelle im Stoff einsteigt. Dass dann Fragezeichen über dem Kopf auftauchen, ist kein Wunder. Bei der Differentialrechnung ist es wichtig, Sinn und Zweck der ganzen Rechnerei nachvollziehen zu können und dieses Teilgebiet der Analysis als großes Ganzes zu verstehen.

Die Artikelreihe „Differentialrechnung in 5 Schritten“ beginnt daher mit einer Einführung in die Differentialrechnung. Ziel dieses Artikels ist es, die Basics der Differentialrechnung nachvollziehbar aufzuzeigen, sodass man am Ende sagen kann, worum es bei diesem mathematischen Kerngebiet eigentlich geht und wie das zentrale Thema der Differentialrechnung, nämlich die Ableitung, funktioniert.

Differentialrechnung: Was ist das und wofür ist es gut?

Die Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Anhand der Differentialrechnung kann man lokale Veränderungen von Funktionen berechnen. Ein wesentliches Anwendungsgebiet ist die Steigung von Funktionen.

Die Steigung einer Geraden, z.B. 2x ist recht simpel. Vielen wird dieses kleine Schaubild zur Berechnung der Steigung einer Geraden noch bekannt vorkommen:

Steigung einer Geraden

Anhand der Rechnung Gegenkathete/Ankathete lässt sich der Steigungswinkel α (Alpha), bzw. der Tangens berechnen. Der Tangens ist nichts weiter als das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete.

Am besten man schaut sich die Anwendung an einem konkreten Beispiel an. In diesem Fall haben wir die Gerade 2x. Um die Steigung der Geraden (diese ist an allen Punkten gleich) auszurechnen, definiert man einfach zwei Punkte: P0 und P1. An diesen setzt man dann an, zeichnet ein Dreieck ein und bestimmt Gegenkathete und Ankathete. Die Gegenkathete ist die Veränderung des Funktionswertes f(x), die Ankathete die Veränderung des x-Wertes.

Beispiel: Steigung einer Geraden

Angewandt auf die o.g. Formel zur Berechnung des Steigungswinkels ergibt sich für dieses Beispiel folgende Steigung:

Formel zur Steigung einer Geraden

Die Veränderung des x-Wert-Abstandes zwischen x1 und x0 wird mit Δx (Delta x) dargestellt. In unserem Fall ist x1=2 und x0=0,5. Mit 2 – 0,5 ergibt sich ein Δx von 1,5. Genauso läuft es bei f(x), bzw. dem y-Wert-Abstand. Der Abstand zwischen f(x1)und f(x0) wird mit Δf(x) oder Δy dargestellt. Aus dem Quotienten von Δf(x) und Δx errechnet sich die Steigung.

Die Steigung der Geraden 2x beträgt hier wenig überraschend tanα = 2. Um nun den Winkel α auszurechnen muss man tan wegbekommen, indem man arctan nutzt. Je nach Taschenrechner gibt man entweder arctan 2 ein oder tippt 2 ein und nutzt die Taste tan-1. Als Ergebnis müsste dann ein Steigungswinkel α = 63,43° herauskommen.

So, kommen wir nun noch zu einigen für die Differentialrechnung wichtigen Begriffen. So nennt man die Gerade, die durch die Punkte P1 und P2 geht eine Sekante. Die Formel zur Berechnung ihrer Steigung ergibt den sogenannten Differenzenquotienten (Das ist noch nicht der Differentialquotient!). Der Differenzenquotient f(x) an der Stelle x0 gibt die Steigung der Sekante

Da wir in unserem Beispiel eine lineare Funktion haben, liegt die Sekante auf der Geraden, welche an jeder Stelle die gleiche Steigung hat, egal wo man so ein Dreieck einzeichnet. Bei quadratischen Funktionen, wie x² sieht es schon anders aus. Anstatt einer Geraden, die an jeder Stelle die gleiche Steigung hat, ergibt diese quadratische Funktion eine Parabel, die – je nachdem, wie hoch x ist, eine andere Steigung hat:

Beispiel zur Sekantensteigung

Wenn man nun wissen möchte, welche Steigung die Funktion am Punkt P0 hat, so gibt es ein Problem. Denn durch den nichtlinearen Verlauf lässt sich die Formel zur Steigung einer Geraden nicht mehr anwenden. Man kann versuchen, sich dem Ergebnis zu nähern, indem man eine Sekante anlegt, also eine Gerade durch zwei Punkte der Funktion. Neben dem Punkt P0, dessen Steigung wir ja herausfinden möchten, suchen wir einfach noch einen anderen Punkt P1 auf dem Funktionsgraphen. Dort legen wir dann die Sekante an. Nun können wir wieder Δx und Δy bestimmen und den Steigungswert berechnen.

Berechnung der Sekantensteigung

ABER: Der Steigungswert 2,5 (entspricht Winkel α = 68,20°) gibt lediglich die Steigung der Geraden, bzw. die durchschnittliche Steigung der Funktion x2 zwischen den Punkten P1 und P0 an. Die exakte Steigung an der Stelle P0 hätten wir damit immer noch nicht bestimmt.

Und genau hier setzt die Differentialrechnung an. Sie beschäftigt sich mit der Steigung von Funktionen und stellt einfache Methoden zur Berechnung der Steigung zur Verfügung (Differenzierungsregeln). Doch was passiert bildlich gesehen beim Differenzieren? Das soll anhand der folgenden Grafik verdeutlich werden. Ich habe hierzu eine etwas breitete Parabel gewählt (0,2x2), damit man den Vorgang besser erkennen kann:

Sekante wird zur Tangente

Mit der Sekante haben wir lediglich einen durchschnittlichen Steigungswert von 2,5 zwischen den Punkten P1 und P0 herausgefunden.

Um der tatsächlichen Steigung an der Stelle x0 näher zu kommen, müssen wir den Abstand zwischen P1 und P0 verringern. Der Punkt P1 bewegt sich immer weiter in Richtung P0. Gleichzeitig verringert sich das Δx, also der Abstand zwischen x1 und x0.

Die Sekante schmiegt sich immer weiter an den Funktionsgraphen an, bis der Punkt P1 auf P0 trifft. X1 strebt gegen x0 und f(x1) gegen f(x0). Dann gibt es keine Sekante mehr (die durch zwei Punkte geht). Die Sekante ist zur Tangente geworden.

Die Tangente ist demnach ist demnach eine Gerade, die den Funktionsgraphen am Punkt P0 berührt/tangiert.Definitionsgemäß ist die Steigung einer Funktion an einem Punkt P0 gleich der Tangentensteigung an diesem Punkt. Dies wird anhand des nächsten Beispiels zur Tangentensteigung deutlich. Abgebildet ist die Funktion 0,3x2+1.  Gesucht ist die Steigung der Tangente am Punkt P0, bzw. an der Stelle x=1,5

Tangentensteigung Beispiel 1

Mit Anlegen der Tangente am Punkt P0 lässt sich die Steigung wieder anhand des Differenzenquotienten berechnen:

Tangentensteigung Berechnung Beispiel 1

Die (Tangenten-)Steigung der Funktion an der Stelle x=1,5 beträgt also 0,9. Das heißt: Steigt der x-Wert um eine Einheit, erhöht sich der y-Wert um 0,9 Einheiten. Im Vergleich zu einer Geraden ist die Steigung des Funktionsgraphen aber nicht an jeder Stelle gleich. Nehmen wir als nächstes z.B. die Stelle x=2.

Tangentensteigung Beispiel 2

Auch hier legen wir eine Tangente an und errechnen anhand des Differenzenquotienten die Steigung der Funktion am Punkt P0. Aber bereits an der Grafik ist zu erkennen, dass die Tangente im Vergleich zum ersten Beispiel steiler ist. Demnach müsste an der Stelle x= 2 auch auf dem rechnerischen Weg eine höhere Steigung herauskommen:

Tangentensteigung Berechnung Beispiel 2

Und so ist es auch, die Steigung an der Stelle x=2 beträgt nicht mehr 0,9, sondern 1,2. Steigt der x-Wert jetzt um eine Einheit, erhöht sich der y-Wert um 1,2 Einheiten. Wir erhalten somit verschiedene Steigungen, je nachdem, wo wir uns auf dem Graphen der Funktion 0,3x2+1 befinden.

Die beiden Beispiele zeigen, dass die Steigungswerte der Tangente sowohl von der Funktion, als auch von dem Punkt P0 abhängen, an den die Tangente angelegt wird. An der Stelle x=0 liegt die Tangente parallel zur y-Achse und bildet eine Gerade. Die Steigung ist dort ebenfalls gleich Null.

Der Differentialquotient

Bislang haben wir uns mit dem Differenzenquotienten beschäftigt, also dem Verhältnis zwischen den Streckenveränderungen auf der x- und y-Achse. Zusammen mit dem Grenzwertbegriff  bildet der  Differenzenquotient die theoretische Grundlage der Differentialrechnung.

Das hört sich vielleicht etwas verwirrend an, ist es aber nicht. Denn den Grenzwert einer Funktion haben wir bereits dadurch das Anlegen der Tangente gebildet. Dabei kam der Punkt P1 dem Punkt P0 immer näher, bis er ihn fast berührte. Und genau das nennt man einen Grenzwert oder auch Limes (lim) einer Funktion.

Die Tangentensteigung ist somit der Grenzwert des Differenzenquotienten. Grenzwert deshalb, weil die Strecke zwischen P1 undP0 unendlich klein wird und damit sinnbildlich „an ihre Grenze“ getrieben wird.  In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer Funktion zu definieren. Die Ableitung der Funktion f(x) an einer Stelle x0 ist gleich der Steigung des Differenzenquotienten, wenn x1 gegen x0 strebt. Damit entspricht sie der Tangentensteigung im Punkt P0.

Die Tangentensteigung ist also die Ableitung der Funktion f(x) an einer Stelle x0. Der Grenzwert des Differenzenquotienten für  x1 -> x0 bezeichnet man als Differentialquotienten. Man spricht dabei auch von der Ableitung der Funktion an der Stelle x0, welche auch mit f’(x) dargestellt wird. Die Berechnung dieses Grenzwerts nennt man dann Ableiten oder Differenzieren. Man schreibt für die Tangentensteigung, bzw. den Grenzwert:

Grenzwertbildung

Grenzwertbildung bedeutet dabei, dass Δx (der Abstand zwischen x1 und x0) gegen Null strebt. Er wird dabei beliebig klein, aber ohne exakt Null zu ergeben. Wieso? Würde der Abstand zwischen den zwei Stellen Null ergeben (x1 = x0), entstünde ein undefinierter Ausdruck:

Grenzwertbildung: Undefinierter Ausdruck

Um die Steigung von f(x) an einer Stelle x0 herauszufinden, muss man daher den Grenzwert des Differenzenquotienten, bzw. den Differenzialquotienten bilden. Der Differenzialquotient heißt dann die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x0.

Ableitungsbeispiele

Das Ableiten von Funktionen ist somit ein wichtiges Basic, welches man beherrschen sollte, um die Steigung von Funktionsgraphen an bestimmten Stellen herauszufinden. Zwar kann man, wie wir es bereits gemacht haben, auch eine Tangente anlegen und dann die Steigung der Tangente berechnen, allerdings ist das viel umständlicher und auch ungenauer. In der Differentialrechnung werden die Funktionen oftmals gar nicht gezeichnet, stattdessen muss die Steigung einer Funktion an bestimmten Stellen rechnerisch ermittelt werden.

Durch das Ableiten von Funktionen erhält man zudem exaktere Werte für die Steigung an einem bestimmten Punkt. Mit der abgeleiteten Funktion f’(x) kann man dann schnell die Steigung an mehreren Stellen herausfinden, ohne umständliche Zeichnungen und Berechnungen durchzuführen.

Schauen wir uns nun ein paar ausführliche Ableitungsbeispiele anhand der Formel für die Grenzwertbildung an. In den folgenden Beispielen wird die Ableitung einer Funktion f(x) in f’(x) rechnerisch dargestellt. Normalerweise reicht es aus, die Ableitungsregeln auswendig zu lernen und anwenden zu können. Es kann aber auch nicht schaden, die Umformung über den längeren, rechnerischen Weg nachvollziehen zu können (falls diese z.B. mal in einer Klausur gefragt wird).

Wie lautet die Ableitungsfunktion von x2?

Ableitungsbeispiel x²

Lösung: Die Tangentensteigung an der Stelle x0 entspricht 2x. Man rechnet hierzu am Ende der Gleichung 2* x0, da x1 ja gegen x0 strebt. Mit dem Ableitungsergebnis f’(x)=2x können wir nun die Steigung der Funktion f(x)= x2 an verschiedenen Stellen ausrechnen. So beträgt die Tangentensteigung am Punkt x= -0,5 z.B.-1 (2*(-0,5)=-1). Bei x=0,75 beträgt die Steigung 1,5 (2*0,75) und bei x=2,25 ist die Steigung 4,5 (2*2,25).

Wie lautet die Ableitungsfunktion von x3?

Ableitungsbeispiel x³

Wie sieht es mit Konstanten und linearen Funktionen aus? Wie werden diese Abgeleitet. Eine Konstante, z.B. „+5“ ergibt abgleitet Null:

Ableitungsbeispiel Konstante

Die Konstante fällt somit bei der Grenzwertbildung komplett weg. Ist ja auch logisch, denn die Funktion f(x) = 5 ist eine Gerade parallel zur x-Achse. Sie hat somit keine Steigung und demnach existiert auch kein Grenzwert.

Bei linearen Funktionen, wie z.B. f(x) = 7x gestaltet sich die Grenzwertbildung wie folgt:

Ableitungsbeispiel Lineare Funktion

Eine lineare Funktion wird durch die Grenzwertbildung zur Konstante, das x fällt also weg. Zu guter Letzt können wir ja mal alle Ableitungsbeispiele in einem Beispiel vereinen:

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = 1,2x3+4x2+0,5x+2?

Die Lösung lautet: f’(x)= 3,6x2 + 8x +0,5. Räumen wir das Feld von hinten auf: Die 2 fällt als Konstante weg (f’(x)=0). Aus der linearen Gleichung 0,5x wird f’(x)= 0,5. Bei der quadratischen Gleichung 4x2 multiplizieren wir im ersten Schritt die Potenz n („hoch 2) mit a, also mit 4, was 8 ergibt. Gleichzeitig wird der Exponent um -1 reduziert: aus x2-1 wird x1, kurz gesagt x. Zusammengesetzt ergibt das f’(x)= 8x.

Genauso geht man bei der Potenzfunktion f(x)= 1,2x3 vor. Das Produkt aus Potenz (hoch 3) und a (1,2) ergibt 3,6. Aus x3 wird mit x3-1 dann x2. Ergebnis für f’(x) ist damit 3,6x2.

Das Spiel kann man mit dem Ergebnis der ersten Ableitung natürlich noch weiter treiben. So kann man die Funktion f’(x)= 3,6x2 + 8x +0,5 nochmals ableiten. Für die 2. Ableitung ergibt sich dann f”(x)= 7,2x+ 8.

Wozu aber die ganze Rechnerei mit erster, zweiter Ableitung usw.? In der folgenden Grafik werden die Zusammenhänge deutlich:

Ableitungsfunktion Zusammenhänge

Dort, wo die Ableitungsfunktion f’(x) ihre Nullstellen hat, also die x-Achse schneidet, sind nämlich die Extremstellen (Hochpunkt; Tiefpunkt) der Ursprungsfunktion f(x).  Und an der Wendestelle (W) hat die Ableitungsfunktion einen Extremwert.

Neben der Bestimmung der Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt, liegt ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der Differenzialrechnung in der Bestimmung von lokalen Veränderungen von Funktionen, wie Extremwerten und Wendepunkten. Diese zeichnen sich durch ein spezifisches Steigungsverhalten aus und können daher mit Hilfe der Differenzialrechnung bestimmt werden.

In weiteren Artikeln dieser Artikelreihe, wir nochmal ausführlich auf Funktionsuntersuchungen und eine vollständige Kurvendiskussion eingegangen. Das nächste Thema widmet sich aber zunächst der Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Denn die Voraussetzung zum Ableiten einer Funktion ist, dass ein Grenzwert überhaupt existiert. Manche Funktionen sind aber nicht überall differenzierbar. Inwiefern sich die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen bedingen, wird daher im nächsten Artikel betrachtet!