Differentialrechnung in 5 Schritten

Wirtschaftsmathematik – Nicht gerade das Lieblingsthema der meisten Wiwi-Studenten. Doch leider kommt man bei wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen um Mathe nicht herum. Wer sich an den exemplarischen Studienplan der Fernuni Hagen hält, wird mit diesem Thema bereits im ersten Semester konfrontiert.

Je nachdem, welche prägenden Erfahrungen man in seiner Schulzeit mit Mathe gemacht hat und wie frisch die vorherrschenden Kenntnisse noch sind, wird der Kurs “Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra”  (Kurs 40600) entweder zur entspannten Angelegenheit oder aber zur Tortur. Wirtschaftsmathe wird vor allem dann zu einer eher unangenehmen Angelegenheit, wenn man die im Modulhandbuch angegebenen Teilnahmevoraussetzungen für diesen Kurs auf die leichte Schulter nimmt. Denn entgegen so mancher Erwartungen fangen die Studienunterlagen nicht bei den Basics, sondern bereits mitten im Lernstoff an.  Zwar muss man zur Bearbeitung der Kursunterlagen keine “speziellen Voraussetzungen” mitbringen, aber gewisse Grundkenntnisse werden schon vorausgesetzt. Bei wem Grundbegriffe der Arithmetik und Algebra, Gleichungen, Logarithmen, Funktionen & Co. schon einige Zeit her sind, der sollte sich die mathematischen Grundlagen am besten vor Kursbeginn nochmal anschauen.  Das Beherrschen der Mathe-Basics spart nicht nur Zeit, sondern auch Nerven und bringt den gut durchorganisierten Zeitplan nicht allzu stark durcheinander. Dann ist man auch  fit für einen einigermaßen reibungslosen Start mit dem ersten Studienheft des Kurses “Grundlagen der Analysis und Linearen Algebra”.

Die erste Kurseinheit beschäftigt sich mit den “Grundlagen der Differential- und Integralrechnung”. Beides sind relativ komplexe Gebiete der Mathematik, bei denen es neben gewissen Grundkenntnissen vor allem darauf ankommt, dass man den Stoff von Anfang an versteht. Das Gute an Mathe ist, dass es so gut wie keine Interpretationsspielräume gibt. Es gibt immer ein Ergebnis, die Antwort ist also entweder richtig oder falsch.

Somit ist Mathe mit einem Handwerk vergleichbar. Wenn man mit Basiswissen ein solides Fundament gelegt hat, kann man nach und nach darauf aufbauen. Und auch hierbei macht Übung letztendlich den Meister, d.h. dass man immer besser und sicherer wird, je öfter man das Gelernte anwendet.

Ich habe diesen Kurs mal zum Anlass genommen, mir das Gebiet der Differentialrechnung vorzuknüpfen. Da das Thema etwas zu umfangreich für einen einzigen Artikel wäre, starte ich eine neue Artikelreihe, bei der ich wir uns der “Differentialrechnung in 5 Schritten” nähern. Die Themen werden dabei wie folgt aufgeteilt:

Der erste Artikel gilt einer Einführung in die Differentialrechnung. Was ist Differentialrechnung überhaupt und wozu ist das Ganze überhaupt gut? Dabei werden auch Begriffe, wie Sekante, Tangente und Tangentensteigung, sowie der Unterschied zwischen Differenzenquotient und dem namensgebenden Differentialquotienten erläutert.

Im zweiten Teil der Artikelreihe sollen die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit anschaulich erläutert werden. Inwiefern bedingen sich diese beiden Faktoren und woran erkennt man überhaupt, ob eine Funktion stetig und differenziebar ist?

Die Steigungsbestimmung einer linearen Funktion ist recht leicht, diese hat überall die gleiche Steigung. Doch wie sieht es bei quadratischen, gebrochen rationalen, Wurzel- und Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen aus? Da diese Funktionstypen über unterschiedliche Steigungen verfügen – je nachdem, an welcher Stelle des Funktionsgraphen man ansetzt – ist die Sache hier etwas komplizierter. Differentialrechnung


Das Bilden von Ableitungen zur Steigungsbestimmung einer Funktion gehört daher zum Grundwerkzeug in der Differentialrechnung. Die  Ableitungsregeln habe ich bereits in einer Tabelle zusammengefasst. Im dritten Teil der Artikelreihe werden einige Beispiele zum Ableiten von Funktionen betrachtet. Neben grundlegenden Ableitungsregeln kommen bei den Beispielen auch Ableitungen von verknüpften Funktionen  (Summenregel,  Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel) vor.

Mit Hilfe der Funktionsuntersuchung ist es möglich, das Aussehen, bzw. die charakteristischen Merkmale einer Funktion zu bestimmen. Dabei werden die geometrischen Eigenschaften, wie Extrempunkte, Maximum und Minimum, Monotonie, sowie das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen bestimmt. Anhand der exakt bestimmten Werte kann man dann eine Skizze des Graphen anfertigen.

Die Krönung der Differentialrechung ist die vollständige Kurvendiskussion, bei der natürlich auch die Funktionsuntersuchung zum Einsatz kommt. Hierbei kommt es nicht darauf an, den schönsten Graphen zu zeichnen (das kann jeder Funktionsplotter besser), sondern exakte Charakteristika des Graphen zu bestimmen. Zudem ist es mit der Kurvendiskussion möglich, das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen. Neben den Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen werden die Symmetrieeigenschaften, das Monotonieverhalten, sowie Extrem- und Wendepunkte ermittelt. Auch wird die Funktion auf möglichen Lücken und eventuelle Polstellen untersucht. Die vollständige Kurvendiskussion soll dabei anhand eines Beispiels durchgeführt werden.

Ziel der Artikelreihe “Differentialrechnung in 5 Schritten” ist es, einen grundlegenden Einblick zu den wichtigsten Kernpunkten zu geben und anhand von Beispielen zu veranschaulichen. Ich werde sicherlich nicht auf jedes Detail und alle Problemfälle eingehen können, da die Differentialrechung dafür ein viel zu breites Gebiet ist. Allerdings hoffe ich, ein wenig zum allgemeinen Verständnis beitragen zu können ;).