Differentialrechnung: Funktionsuntersuchungen

Wie im Abschluss des letzten Artikels zu den wichtigsten Ableitungsregeln in der Differentialrechnung bereits angerissen, lassen sich anhand der Ableitungen wichtige Eigenschaften einer Funktion analysieren. Zu diesen zählen markante Punkte, wie Extremstellen, Wendestellen, Nullstellen, aber auch der Verlauf zwischen diesen Punkten, wie die Symmetrie, sowie das Monotonie- und Krümmungsverhalten. All diese Funktionsuntersuchungen sind wesentlicher Bestandteil der Kurvendiskussion, welche im fünften und letzten Teil der Artikelreihe „Differentialrechnung in 5 Schritten“ behandelt wird.

In den vergangenen Artikeln haben wir neben einer grundlegenden Einführung in das Thema der Differentialrechung, u.a. bereits die Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen betrachtet. Anhand der Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle x0 lässt sich ihre Steigung an genau diesem Punkt ermitteln. Voraussetzung für die Bildung einer Ableitung (auch Differentialquotient genannt) ist jedoch, dass sie dort auch differenzierbar ist. Man muss an der Stelle x0 also eine eindeutige Tangente anlegen können.

Anhand der Ableitungen kann man anschließend die charakteristischen Eigenschaften einer Funktion ermitteln. Bevor wir uns im nächsten Artikel abschließend der umfassenden Kurvendiskussion zuwenden, geht es im vierten Teil der Artikelreihe zunächst um die Erläuterung der wesentlichen Funktionsuntersuchungen. Hierbei soll auf folgende Charakteristika von Funktionen eingegangen werden:

  • Extremstellen
  • Wendestellen
  • Nullstellen
  • Symmetrie
  • Monotonieverhalten
  • Krümmungsverhalten

In diesem Artikel sollen die genannten Eigenschaften von Funktionen  zunächst erläutert und anhand von Beispielen veranschaulicht werden. Im kommenden Artikel zur Vollständigen Kurvendiskussion werden diese und einige weitere charakteristischen Punkte und Eigenschaften dann anhand eines ausgewählten Beispiels komplett diskutiert.

Extremstellen

Extremstellen sind Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion. An diesen Stellen ist die Steigung gleich Null. Und da die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ihre Steigung an einer bestimmten Stelle markiert, ist die erste Ableitung an Hoch- und Tiefpunkten ebenfalls gleich Null. Überall, wo gilt f'(x) = 0, befinden sich mögliche Extremstellen.

Betrachten wir als Beispiel die Funktion f(x) = x³ + 2x² -1. Der blaue Funktionsgraph zeigt die Originalfunktion an, die rote Parabel ist die erste Ableitung f'(x) = 3x² + 4x.

Extremstellen Beispiel

Dort wo gilt f'(x) = 0, müsste die Funktion also Extremstellen, bzw. Hoch- und Tiefpunkte haben. Dies können wir einfach überprüfen, indem wir die quadratische Gleichung gleich Null setzen und ein x ausklammern:

0= 3x²+ 4x
0=x(3x+4)

Die erste Extremstelle finden wir, bei x1=0.  Nun schauen wir uns nochmal den inneren Term an und setzen diesen gleich Null.

0 = 3x+4
3x = -4
x = -4/3

Die zweite Extremstelle befindet sich somit bei x2 = -4/3.

Allerdings muss nicht überall, wo die Funktion eine Steigung von Null hat, auch ein Hoch- oder Tiefpunkt existieren. Es kann sich dabei auch um einen sogenannten „Sattelpunkt“ handeln. Denn auch dieser erfüllt die Bedingung f'(x) = 0. Somit ist f'(x) = 0 nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für Extremstellen. Soll heißen: Die Tatsache, dass die erste Ableitung gleich Null ist, reicht nicht als Beweis für einen Extrempunkt aus. Was ist nun der Unterschied zwischen einem Hoch-, bzw. Tiefpunkt und einem Sattelpunkt? Und woran erkennt man den Unterschied?

Schauen wir uns als hierzu mal die Funktion f(x) = x³ -1 an. Die erste Ableitung lautet f'(x) = 3x². Diese hat bei x=0 eine Nullstelle. Die Steigung der roten Parabel ist dort gleich Null. Handelt es sich dabei nun um eine Extremstelle (Hoch-/Tiefpunkt) oder um einen Sattelpunkt?

Die Grafik macht den Unterschied deutlich: Der blaue Funktionsgraph der Originalfunktion steigt zunächst an und bewegt sich dann am Punkt (x=0|f(x)= -1) leicht nach rechts und steigt ab dann wieder weiter an. Wie man am Funktionsverlauf gut erkennen kann, handelt es sich beim Punkt (0|-1) um keine Extremstelle, da die Funktion dort weder einen Hochpunkt, noch einen Tiefpunkt hat. Hier haben wir es mit einem Sattelpunkt zu tun.

Sattelpunkt Beispiel

Die x³ -1 ist zunächst hat für alle negativen x-Werte eine negative Steigung, an der Stelle x=0 eine Steigung von Null (waagerechte Tangente) und nimmt dann im weiteren Verlauf für alle positiven x-Werte eine positive Steigung an.

Zur Überprüfung, ob sich an der Stelle f'(x) = 0 um eine Extremstelle oder einen Sattelpunkt handelt, nutzt man die zweite Ableitung f”(x) = 6x, die in der Grafik mit der grünen Gerade dargestellt ist. Sofern man eine dritte Ableitung bilden kann, was in unserem Beispiel möglich ist, so hat man die hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt.

Wenn gilt:

f'(x) = 0, f”(x) = 0 und f”’ (x) ≠ 0, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Dies können wir überprüfen:

f'(x) = 3x²
f'(0) = 3·0²
f'(0) = 0

Die erste Ableitung ist bei x=0 gleich Null.

f”(x) = 6x
f”(0) = 6·0
f”(0) = 0

Auch die zweite Ableitung ist bei x=0 gleich Null.

f”’ (x) = 6
f”’ (0) = 6
0 ≠ 6

Nur die dritte Ableitung ist bei x=0 ungleich Null. Somit handelt es sich an der Stelle x=0 um einen Sattelpunkt.

Falls man keine dritte Ableitung bilden kann, so kann man auch einfach nach dem Ausschlussprinzip vorgehen und überprüfen, ob es sich um eine Extremstelle handelt.

Wenn gilt:

f'(x) = 0, f”(x) ≠ 0, handelt es sich um eine Extremstelle.

Da wie eben betrachtet an der Stelle x=0 auch die zweite Ableitung gleich Null wird, kann eine Extremstelle ausgeschlossen werden.

In unserem ersten Beispiel hatten wir die Funktion f(x) = x³ + 2x² – 1. An den Stellen x=-4/3 und x=0 war die erste Ableitung der Funktion f'(x) = 3x² + 4x gleich Null. Nun können wir nochmal überprüfen, ob es sich tatsächlich an beiden Punkten um eine Extremstelle handelt. Demnach müsste die zweite Ableitung an beiden Stellen ungleich Null sein.

Überprüfen wir dies zunächst an der Stelle x=-4/3:

f”(x) = 6x + 4
f”(-4/3)=6·(-4/3) + 4
f”(-4/3) = -4

Und bei x=0:

f”(x) = 6x + 4
f”(0)=6·(0) + 4
f”(0) = 4

Die zweite Ableitung der Funktion ist somit an beiden Stellen ungleich Null, es handelt sich also eindeutig um Extremwerte. Alle Hoch- und Tiefpunkte sind lokale Extrempunkte. Um herauszufinden, ob es sich um einen Hochpunkt (lokales Maximum) oder einen Tiefpunkt (lokales Minimum) handelt, bedient man sich ebenfalls der zweiten Ableitung.

Ist f'(x) = 0 und f”(x) > 0, so liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.
Ist f'(x) = 0 und f”(x) < 0, so liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor.

Der Begriff „Lokal“ bezeichnet dabei die Betrachtung lediglich eines Intervalls, bzw. Teilbereichs des Funktionsgraphen. Neben lokalen Extrempunkten gibt es auch globale Extrempunkte. Der Ausdruck „Global“ bedeutet dabei, dass der Funktionsgraph an diesen Stellen den niedrigsten Funktionswert (globales Minimum), bzw. den höchsten Funktionswert (globales Maximum) annimmt. Um eine solche Aussage überhaupt treffen zu können, reicht es natürlich nicht aus, sich nur einen Ausschnitt des Funktionsgraphen anzuschauen, man muss diesen in seiner Gesamtheit betrachten. Dafür untersucht man auch die Ränder des Definitionsbereichs, denn auch dort können globale Extremstellen auftreten. Ebenso kann es aber auch gut sein, dass eine Funktion überhaupt kein globales Maximum oder Minimum besitzt.

Wendestellen

Eine Wendestelle (xW) erkennt man daran, dass der Funktionsgraph im wahrsten Sinne des Wortes sein Krümmungsverhalten „wendet“. Entweder wechselt er von einer Rechts- in eine Linkskurve, bzw. von positiver Steigung in eine negative Steigung oder umgekehrt. Eine Wendestelle zeichnet sich dadurch aus, dass die Krümmung des Funktionsgraphen dort ihr Vorzeichen wechselt.

Ein notwendiges Kriterium für eine Wendestelle ist, dass die zweite Ableitung an der Stelle xW gleich Null sein muss. Als hinreichendes Kriterium gilt, dass die dritte Ableitung bei xW ungleich Null ist.

Wenn also gilt:

f”(x) = 0 und f”'(x)≠ 0, dann liegt eine Wendestelle vor.

Betrachten wir nochmal unser erstes Beispiel:

Wendestelle Beispiel 1

Wie man anhand der Grafik gut erkennen kann, ändert der Funktionsgraph an einem bestimmten Punkt seine Krümmung. Von einer Rechtskurve wechselt der Graph dann in eine Linkskurve über (= Bogenwechsel). Bei x= -2/3 befindet sich eine Wendestelle.

Auch anhand der ersten roten Parabel (1. Ableitung) sieht man, dass die Funktion für alle x < -2/3 eine negative Steigung, für alle x > -2/3 eine positive Steigung annimmt.

Dass bei x= -2/3 tatsächlich eine Wendestelle vorliegt, können wir ganz einfach anhand der mathematischen Definition f”(x) = 0 und f”'(x)≠ 0 überprüfen. Die zweite Ableitung der Originalfunktion müsste dort nämlich eine Nullstelle aufweisen.

f”(x) = 6x + 4
-6x = 4
x = -2/3

Und tatsächlich, die zweite Ableitung hat bei x= -2/3 eine Nullstelle. Auch anhand der Grafik sieht man deutlich, dass die grüne Gerade dort die x-Achse schneidet. Ein weiteres Kriterium für einen Wendepunkt ist, dass die dritte Ableitung an der Stelle keine Nullstelle aufweist, also ungleich Null ist. Auch dies lässt sich schnell überprüfen:

f”'(x) = 6
f”'(-2/3) = 6
-2/3 ≠ 6

Anhand der Grafik wird es deutlich: Die dritte Ableitung (orange) ist eine waagerechte Gerade und hat überhaupt keine Nullstelle. Somit haben wird es bei x=-2/3 eindeutig mit einer Wendestelle zu tun.

Schauen wir uns auch noch das zweite Beispiel an:

Wendestelle Beispiel 2

Die Funktion f(x)= x³ -1 hatte an der Stelle x=0 einen Sattelpunkt. Sattelpunkte sind Spezialfälle von Wendepunkten.

Auch hier können wir nochmal überprüfen, ob f”(x) = 0 und f”'(x)≠ 0 gilt. Die zweite Ableitung f”(x) = 6x hat bei x=0 eine Nullstelle. Das notwendige Kriterium wäre somit erfüllt. Die dritte Ableitung f”'(x) nimmt für jedes x (auch bei x=0) den Funktionswert 6 an. Somit befindet sich bei x=0 eine Wendestelle. Hier haben wir es sogar mit einem Sattelpunkt zu tun, da die erste Ableitung bei x=0 ebenfalls gleich Null wird. Die Bedingung für einen Sattelpunkt, nämlich f'(x) = 0, f”(x) = 0 und f”’ (x) ≠ 0, sind im zweiten Beispiel erfüllt.

Nullstellen

Zu den wesentlichen Funktionsuntersuchungen gehört auch, dass man die Nullstellen der Funktion bestimmt. Man versucht also herauszufinden, bei welchen x-Werten der Funktionswert f(x) gleich Null wird. Ob und wie viele Nullstellen eine Funktion hat, hängt von der jeweiligen Funktion ab.

Je nachdem, mit welcher Funktionsart man es zu tun hat, unterscheiden sich auch die Verfahren zur Berechnung von Nullstellen. Im Folgenden sollen Beispiele zur Nullstellenbestimmung bei linearen, quadratischen und Funktionen höheren Grades betrachtet werden.

Nullstellen linearer Funktionen:

Bei linearen Funktionen der Form f(x) = mx + b ist es recht simpel, die Nullstellen herauszufinden, hierbei setzt man einfach f(x) = 0, stellt die Gleichung nach x um und löst so auf.

Beispiel:

f(x) = 2x + 3
0 = 2x + 3
-2x = 3
x= -1,5

Nullstellen Lineare Funktion

Nullstellen quadratischer Funktionen:

Bei quadratischen Funktionen der Form f(x) = ax² + bx +c bedient man sich zur Bestimmung der Nullstellen der p-q-Formel. Vorher bringt man die jeweilige Funktion in die Normalform  0 = x² + px + p.

Die Lösungsformel zur Berechnung der Nullstellen lautet für die Normalform:

p-q-Formel

Beispiel:

f(x) = 4x² + 3x -2

Zunächst bringen wir die Funktion in Normalform, indem wir durch 4 teilen:

f(x) = 4x² + 3x -2  | :4
0 = x² + 0,75x – 0,5
mit p= 0,75 und q= -0,5

Nun setzt man p und q in die p-q-Formel ein und berechnet die Formel:

p-q-Formel Beispiel 1

Die Funktion f(x) = 4x² + 3x -2 hat somit zwei Nullstellen bei x1= 0,42539053 und x2= -1,17539053.

Nullstellen Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion kann maximal zwei reelle Zahlen als Lösung haben. Sollte unterhalb der Wurzel eine negative Zahl herauskommen, so gibt es für die Gleichung keine reelle Lösung.

Nullstellen bei Funktionen höheren Grades:

Wie sieht es nun bei Funktionen dritten, vierten und noch höheren Grades aus? Alles, was man bereits weiß ist, dass der Grad einer Funktion gleichzeitig auch die maximale Anzahl der Nullstellen angibt. Lineare Funktionen haben höchstens eine Nullstelle, bei quadratischen Funktionen sind es zwei Nullstellen, Funktionen dritten Grades haben maximal drei Nullstellen usw.

Hat man es mit Polynomen, also Summen aus Ausdrücken der Form an·xn zu tun, kommt man mit der p-q-Formel nicht direkt weiter, da sie eine Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen ist. Um die Nullstellen dennoch herauszufinden, bedient man sich der sogenannten Polynomdivision. Dabei wird nicht durch eine einzelne Zahl, sondern durch ganze Terme dividiert.

Voraussetzung zur Durchführung der Polynomdivision ist, dass man bereits eine Nullstelle der Funktion herausgefunden hat. Dies erreicht man am einfachsten durch Probieren.

Beispiel:

f(x)= -9x³ + 5x² + 12x – 2

Durch Probieren findet man bei x1= -1 eine erste Nullstelle. Um noch weitere Nullstellen zu finden, führen wir die Polynomdivision durch. Hierbei dividieren wir die Funktion f(x) durch den Term (x + 1 ).

Polynomdivision

Vorgehensweise: Zunächst dividieren wir -9x³:x, was -9x² ergibt, den ersten Teil der Lösung. Das Ergebnis wird anschließen mit (x+1) multipliziert: -9x²(x+1)= -9x³ – 9x². Danach rechnet man (-9x³+5x²)-(-9x³ – 9x²). Mit dem errechneten Wert beginnt man dann wieder von Vorne, bis die Polynomdivision abgeschlossen ist.

Um zu überprüfen, ob man alles richtig gerechnet hat, führt man eine Probe durch.

Probe: (-9x² + 14x – 2) · (x+1) = -9x³ +5x² +12x – 2

Die Lösung stimmt also. Und mit dieser kann man auch direkt weitermachen. Denn da es sich jetzt nur noch um eine quadratische Funktion handelt, können wir die restlichen Nullstellen mit der p-q-Formel ermitteln. Hierfür bringen wir die Funktion -9x² + 14x – 2 zunächst wieder in Normalform, indem wir durch (-9) teilen.

0 = -9x² + 14x – 2 |(-9)
0 = x² – 1,5556 + 0,2222

Mit p=- 1,5556 und q=0,2222

Eingesetzt in die p-q-Formel erhalten wir folgendes Ergebnis:

p-q-Formel Beispiel 2

Die Nullstellen der Funktion -9x³+5x²+12×-2 liegen somit x1= -1, x2=1,4 und x3=0,16.

Nullstellen Funktion höheren Grades

Symmetrie

Die Symmetrie einer Funktion ist eine wesentliche charakteristische Eigenschaft und soll daher bei den Funktionsuntersuchungen nicht außer Acht gelassen werden. Die zentrale Frage ist, ob der Funktionsgraph überhaupt in irgendeiner Weise symmetrisch ist und wenn ja, inwiefern.

In diesem Zusammenhang sollen die Achsensymmetrie zur y-Achse und die Punktsymmetrie zum Ursprung betrachtet werden. Neben diesen beiden Fällen kann auch noch eine Untersuchung auf Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen Achse, bzw. auf Punktsymmetrie bezüglich eines beliebigen Punktes erfolgen, allerdings gestaltet sich diese etwas schwieriger.

In Der Kurvendiskussion erfolgt oft nur eine Untersuchung auf die folgenden beiden Fälle.

Achsensymmetrie zur y-Achse:

Ein Funktionsgraph ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

f(x) = f(-x)

Demnach muss es also egal sein, ob es sich um einen negativen oder positiven x-Wert handelt, das Ergebnis ist dasselbe.

Beispiel:

f(x) = 3x- 2x² + 2

Um zu überprüfen, ob der Graph dieser Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, setzen wir für x einfach –x ein und vergleichen dann die Ergebnisse:

f(-x) = 3(-x)4  – 2(-x)² + 2
f(-x) = 3x4 – 2x² + 2

Man könnte jetzt beliebige x-Werte des Definitionsbereiches in die Funktionen einsetzen, allerdings kann man auch so gut erkennen, dass bei geraden Exponenten negative x-Werte positiv werden. Die Bedingung f(x) = f(-x) wäre somit erfüllt. Die Funktion f(x) = 3x4 -2x² +5 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Dies ist jedoch nur der Fall, wenn alle  Exponenten der Funktion gerade sind (x², x4, x6 usw.). Bei ungeraden Exponenten (x, x3, x5 usw.) herrscht keine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.

Achsensymmetrie zur y-Achse Beispiel

Neben Funktionen mit geraden Exponenten ist aber auch noch die Kosinusfunktion f(x)=cos(x) ein gerade Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft:

Achsensymmetrie zur y-Achse Beispiel Kosinusfunktion

Punktsymmetrie zum Ursprung:

Ein Funktionsgraph ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:

f(-x) = -f(x)

Damit der Graph einer Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss jeder negative x-Wert den gleichen Funktionswert haben, wie der jeweilige positive x-Wert. ABER: Mit dem umgekehrten Vorzeichen! (ansonsten wäre er ja achsensymmetrisch zur y-Achse).

Beispiel:

f(x)= 3x³ – 2x+ 2x

Zunächst berechnen wir f(–x), indem wir alle x-Werte durch –x ersetzen:

f(-x)= 3(-x)³ – 2(-x)+ 2(-x)
f(-x)= -3x³ + 2x- 2x

Nun setzen wir vor die Gleichung f(x) ein Minuszeichen –f(x) und vergleichen dann die Ergebnisse:

-f(x)= -(3x³ – 2x+ 2x)
-f(x)=-3x³ + 2x- 2x

Wir stellen fest, f(-x)= -f(x). Somit ist die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie zum Ursprung Beispiel

Im Vergleich zur Achsensymmetrie mit der y-Achse sind nur Funktionen mit ungeraden Exponenten punktsymmetrisch. Ist eine Zahl (ohne x) in der Funktion enthalten, ist diese nicht mehr punktsymmetrisch. Neben Funktionen mit ungeraden Exponenten, ist auch die Sinusfunktion sin(x) eine ungerade Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft:

Punktsymmetrie zum Ursprung Sinusfunktion

Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten einer Funktion lässt sich anhand der ersten Ableitung feststellen. Grundsätzlich kann der Funktionsverlauf innerhalb eines Intervalls (a,b) konstant, (streng) monotonen steigend oder (streng) monoton fallend sein.

Eine Funktion f(x) ist für a ≤ x ≥ b:

Konstant, wenn f'(x) = 0
Monoton steigend, wenn f'(x) ≥ 0
Streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0
Monoton fallend, wenn f'(x) ≤ 0
Streng monoton fallen, wenn f'(x) < 0

Betrachten wir als Beispiel die Funktion f(x)=0,5x³+ 2x² – 1. Die erste Ableitung lautet f'(x) =1,5x² + 4x:

Monotonieverhalten Beispiel

Bei x < -2,6667 ist die erste Ableitung > 0, die Originalfunktion ist dort streng monoton steigend. Bei x = -2,6667 wird die erste Ableitung gleich Null. Die Originalfunktion hat an dieser Stelle einen Hochpunkt und ist konstant.

Im Intervall  -2,6667 < x < 0, wird die erste Ableitung < 0, die Funktion ist in diesem Intervall streng monoton fallen. Bei x = 0 wird die erste Ableitung wieder gleich Null, die Originalfunktion ist also auch an dieser Stelle konstant. Bei x > 0 nimmt f'(x) nur noch positive Funktionswerte an, d.h. dass f(x) ab dann wieder streng monoton steigt.

Man kann das Monotonieverhalten einer Funktion auch anhand der Extrem- und Sattelstellen bestimmen. Denn zwischen einem Hoch- und Tiefpunkt ist eine Funktion streng monoton steigend, bzw. fallend. Das Monotonieverhalten ändert sich auch nicht, wenn zwischen den beiden lokalen Extrempunkten, wie in unserem Beispiel, ein Wendepunkt, liegt.

Befindet sich zwischen Hoch- und Tiefpunkt jedoch ein Sattelpunkt, ist die Funktion nicht mehr streng, sondern lediglich monoton steigend, bzw. fallend.

Krümmungsverhalten

Der Begriff „Krümmung“ macht bereits deutlich, dass es sich mindestens um eine quadratische Funktion handeln muss. Denn Graden sind im wahrsten Sinne des Wortes „gerade“.

Bei der Krümmung unterscheidet man zwischen rechtsgekrümmten (konkaven) und linksgekrümmten (konvexen) Funktionsverläufen. Bei einer Rechtskrümmung ist die Funktion nach unten geöffnet, bei einer Linkskrümmung hingegen nach oben offen.

Zur Unterscheidung hier eine kleine Merkhilfe:

Konvex & Konkav Merkregel

Zur Untersuchung des Krümmungsverhaltens benötigt man die zweite Ableitung f”(x). Es gilt:

Linksgekrümmt (Konvex), wenn f”(x) > 0
Rechtsgekrümmt (Konkav), wenn f”(x) < 0

Betrachten wir nochmal das Beispiel mit der Funktion f(x) = 0,5x³ + 2x² – 1. Die zweite Ableitung lautet f”(x) = 3x + 4.

Krümmungsverhalten Beispiel

Die zweite Ableitung f”(x) = 3x + 4 nimmt für alle x < -1,3333 einen negativen Wert an. In diesem Bereich hat die Originalfunktion eine (negative) Rechtskrümmung, verläuft also konkav. Ist x > -1,3333, wird die zweite Ableitung positiv. Dann verläuft die Funktion f(x) konvex, bzw. ist (positiv) Linksgekrümmt.

Bei x=-1,3333 wird f”(x) gleich Null. Hier hat die Funktion f(x) = 0,5x³ + 2x² – 1 eine Wendestelle und ändert dort ihr Krümmungsverhalten von einem rechtsgekrümmten in einen linksgekrümmten Verlauf.

Fazit


Wie wir gesehen haben, kann man anhand der Ableitungen einer Funktion diverse charakteristische Eigenschaften herausfinden. Hat man diese auf dem rechnerischen Wege bestimmt, so könnte man eine Skizze des Graphen anfertigen.

Hätte man von vornherein die Grafik des Funktionsgraphen zur Hand, lassen sich Merkmale, wie Extremstellen, Wendestellen, der Verlauf des Graphen etc. natürlich auf den ersten Blick herauslesen. Es ist jedoch nicht das Ziel der Differentialrechnung, den Funktionsgraphen möglichst genau nachzuzeichnen. Vielmehr lassen sich mit der Differentialrechnung die exakten Koordinaten der charakteristischen Punkte bestimmen. Auch kann man charakteristische Eigenschaften, wie Symmetrie oder das Verhalten im Unendlichen beweisen.

Die wesentlichen Funktionsuntersuchungen, haben wir in diesem Artikel bereits betrachten. Im fünften und letzten Teil der Artikelreihe „Differentialrechnung in 5 Schritten“ soll anhand eines Beispiel eine vollständige Kurvendiskussion durchgeführt werden, bei der natürlich auch die betrachteten Funktionsuntersuchungen zum Einsatz kommen.